Come contare fino a 1023 usando due mani

Se non contate con le dita dai tempi dell'asilo preparatevi a rispolverare questa abilità: se sarete in gamba arriverete a contare fino a 1023!

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a cura di Francesco Esposito

Uno dei primi traguardi da bambini è quello di riuscire a indicare, in qualche modo, quanti anni si compiono. A tale scopo i genitori e tutti i parenti comprano ai loro pargoli libricini che introducono a quella che da sempre è una delle abilità dell'uomo: saper contare. Non è certamente prerogativa del genere umano (ad esempio anche i corvi sanno contare), ma, a differenza del resto del regno animale, durante i millenni abbiamo sviluppato diversi sistemi numerici e diversi modi per tenere il conto.

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Foto: © gleb261194 / Depositphotos

Quello che insegnamo ai nostri bambini per indicare il numero di anni è il più semplice: usare un adeguato numero di dita della mano alzate e tenere le rimanenti abbassate. Questa tecnica ci consente di indicare numeri fino a 10; tuttavia, usando sempre e solo le 10 dita, si può riuscire a contare fino a più di mille: basta solo utilizzarle in maniera più furba.

Prima di vedere come, e senza scomodare libri di oltre mille pagine degni della letteratura russa, facciamo qualche osservazione: quando scegliamo di indicare il numero 3 usando le mani, non importa se lo indichiamo con pollice, indice e medio oppure con indice, medio e anulare (da non confondere col saluto scout). Nè facciamo distinzione se lo indichiamo con la mano destra o con quella sinistra. Uno stesso numero pertanto ammette più rappresentazioni.

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Foto: © karenr / Depositphotos

Alla scuola primaria ci viene insegnato un metodo più complesso per contare, ma che ci consente di scrivere ogni numero che vogliamo, usando 10 cifre (da 0 a 9), opportunamente combinate. Il problema di queste rappresentazioni è che bisogna fare attenzione a come indichiamo il numero: scambiare posto alle cifre cambia il numero a cui stiamo pensando (1000 euro sono ben più di 0001 euro). 

La scelta del sistema decimale è certamente comoda ma non è l'unica: 10, come numero base, è naturale se si pensa che abbiamo dieci dita, ma ci mostra come la scelta sia soggettiva. Un computer (che non ha mani né ha dita) preferisce un altro sistema numerico, quello binario, ottenuno con combinazioni di 0 e 1. Tale scelta è giustificata dal fatto che facilmente si riesce a decidere se la corrente passa o no in un circuito.

Come il sistema decimale, anche quello binario è posizionale: ciò vuol dire che il valore di una cifra dipende dalla posizione che occupa nella rappresentzione del numero (quanto più a sinistra tanto più grande); proprio in questa caratteristica risiede il segreto per contare fino a 1023. Ciò che faremo sarà dare un ordine alle nostre dita e contare in binario (assegnando la cifra 0 al dito abbassato e la cifra 1 al dito alzato).

Cominciamo: alzate le mani e contate!

Per prima cosa pertanto decidiamo un ordine: in accordo alla nostra abituale scrittura, i numeri cresceranno da destra a sinistra e, giusto per fissare le idee, supponiamo di avere le due mani con i palmi rivolti verso l'altro e le dita strette a pugno. Questa configurazione è naturalente la rappresentazione del numero zero. Per incrementare di uno, bisogna considerare il pollice destro: se è abbassato, basta alzarlo; se è alzato si cerca il dito abbassato più a destra possibile, si alza quello e si abbassano tutti quelli alla sua destra.

Più facile mostrarlo: per ottenere uno, basta alzare il pollice destro. Per ottenere due, poichè il pollice destro è alzato e il dito più a destra abbassato è l'indice destro, alziamo quest'ultimo e abbassiamo il pollice. Il tre si ottiene alzando il police destro (quindi tre si rappresenta con indice e pollice destro alzati). Per ottenere quattro (attenti se siete in pubblico), notiamo che il pollice destro è alzato e che il dito abbassato più a destra è il medio destro; pertanto alziamo il medio e abbassiamo indice e pollice. Andando avanti si ottiene che cinque si ha con pollice e medio destri, il sei con indice e medio destri, il sette con pollice, indice e medio destri; l'otto con il solo anulare destro e così via.

Notiamo che le potenze di due si dispongono (non a caso) sulle dita "singole" per così dire e che se il pollice destro è alzato il numero è sicuramente dispari (se è abbassato il numero è sicuramente pari). Queste considerazioni sono diretta conseguenza del fatto che stiamo contando in binario.

back of left and right hand drawing 266643Il numero massimo che si più pertanto raggiungere è dato dalla somma:

20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29

=

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512

=

1023

Vi è un modo più furbo per sapere quanto è il massimo numero rappresentabile con questo metodo: quando tutte e dieci le dita sono alzate, sommando uno (come se avessimo un undicesimo dito ipotetico), si otterrebbe 210 ; pertanto il massimo numero risulta essere:

210- 1 = 1024 -1 = 1023

Se avete problemi a memorizzare le potenze di 2, rispolverate le vecchie chiavette USB (quando ancora 128 Mb e 256 Mb erano capienze di tutto rispetto) o giocate a 2048, il puzzle game che ha fatto impazzire milioni di persone nel 2014.

2048 t

Oppure cambiate numero: la scelta del 2 è puramente di comodo (è facile vedere se un dito è alzato o abbassato), ma se riusciste a trovare 10 differenti configurazioni per ogni dito sapreste contare fino a 1010 - 1 = 999999999 (il problema però sarebbe riuscire a leggere facilmente il numero!).

Francesco Esposito, laureando alla Magistrale di Matematica presso l'Università del Salento. Il suo campo di interesse è la Geometria, in particolare Geometrie non-euclidee e Geometria Differenziale. Ha partecipato ad eventi di divulgazione scientifica. Collaborerà con Tom's Hardware per la produzione di contenuti scientifici.