Continuiamo con l'ultima delle figure geometriche interessanti che possiamo ottenere tagliando un cono con un piano. Per rendere un po' più chiara la procedura, a differenza dei casi precedenti consideriamo ora un doppio cono, detto anche cono a due falde, che si ottiene nel seguente modo. Siano date due rette che si intersecano in un punto V detto vertice. Fissando una delle due rette, detto asse del cono, facciamo ruotare la seconda retta attorno alla prima. Essa ruotando spazza un cono detto cono circolare retto a due falde. Se togliamo il vertice l'oggetto costruito si divide in due parti dette le due falde del cono.
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Se consideriamo un piano che non passi per il vertice, esso intersecherà almeno una delle due falde. Infatti interseca una sola falda nei casi trovati in precedenza. Immaginiamo che l'asse sia verticale cosicché le due falde saranno una sopra e l'altra sotto. Un piano poco inclinato che intersechi la falda superiore la intersecherà lungo un'ellisse senza toccare la falda inferiore. Aumentando l'inclinazione l'ellisse si allunga sempre più fino a trasformarsi in una parabola. Questa è l'inclinazione limite alla quale il piano interseca solo la falda superiore. Aumentando ulteriormente l'inclinazione, l'intersezione sarà non vuota sia con la falda superiore che con quella inferiore. Le due intersezioni sono due curve disgiunte dette rami di un'iperbole: il ramo superiore e quello inferiore.
In figura è rappresentato il caso specifico in cui il piano è addirittura verticale. Esso corrisponde ad esempio al caso in cui l'abat-jour sulla nostra scrivania venga orientata orizzontalmente.
Torniamo ora, come al solito, a sostituire l'abat-jour con un cono gelato. La regola è sempre la stessa: dobbiamo mettere nel cono delle palle di gelato che appoggino sulla cialda e che siano anche tangenti al piano.
Vediamo che in questo modo possiamo sempre mettere due palle di gelato, una nella cialda superiore e l'altra nella cialda inferiore. Esse toccheranno il piano nei punti e
, detti fuochi dell'iperbole. Sia p un punto dell'iperbole, per esempio del ramo superiore. Sia
la retta generatrice del cono passante per il punto p. Essa toccherà i due cerchi, nei quali le sfere sono tangenti al cono, nei punti
della falda superiore, e
della falda inferiore. Vediamo che i segmenti
e
escono dallo stesso punto p e sono tangenti alla stessa sfera e pertanto sono lunghi uguali. Allo stesso modo, i segmenti
e
escono dallo stesso punto p e sono tangenti alla stessa sfera e sono dunque lunghi uguali.
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Infine osserviamo che i segmenti e
giacciono sulla stessa retta e la loro differenza è il segmento
la cui lunghezza misura la distanza d tra i due cerchi misurata lungo una qualunque generatrice del cono. Tale lunghezza, per simmetria, non dipende dalla direttrice scelta e quindi non dipende dal punto
.
Otteniamo dunque che
,
è indipendente da p e dunque costante. In conclusione:
Ogni ramo d'iperbole è il luogo geometrico dei punti di un piano la cui differenza tra le distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante.
Si noti che sostituendo "...la cui differenza tra le distanze..." con "...il cui modulo della differenza tra le distanze..." otteniamo entrambi i rami dell'iperbole anziché uno.
Infine, notiamo che questo non conclude tutte le figure che si ottengono intersecando un piano con un doppio cono. Mancano infatti quelle line che si ottengono scegliendo un piano passante per il vertice. Per basse inclinazioni l'intersezione sarà un solo punto, il vertice. Aumentando l'inclinazione a un certo punto il piano toccherà il cono lungo una generatrice, e aumentando ulteriormente l'inclinazione il piano taglierà il cono lungo due rette che si incrociano nel vertice. Le figure aggiuntive per completare il quadro sono dunque: un punto, una retta, due rette che si intersecano in un punto. Essi sono degenerazioni delle curve precedenti nel senso che si ottengono rispettivamente dall'ellisse, dalla parabola o dall'iperbole spostando il piano parallelamente a se stesso fin quando interseca il vertice.
Sergio Cacciatori è ricercatore e docente presso il dipartimento di Scienza e Alta Tecnologia dell'Università dell'Insubria. Si occupa essenzialmente di Fisica Teorica e Fisica Matematica.
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