Spazio e Scienze

Luna in caduta libera, facciamo i calcoli

universita insubria

Un recente articolo di A. Spallicci e M. van Putten ha messo in evidenza come in molti testi, siano libri didattici o articoli scientifici, il problema della caduta libera di un corpo in un campo gravitazionale venga trattato in maniera superficiale e fuorviante.

Infatti l'idealizzazione del noto esperimento di Galileo sulla caduta dei gravi dalla torre di Pisa conduce sovente alla frettolosa conclusione che tutti i corpi sottoposti all'azione del medesimo campo gravitazionale ne subiscano la medesima accelerazione.

pisa caduta gravi

Sebbene facendo esperimenti di caduta sul suolo terrestre difficilmente potremmo trovare risultati differenti, l'asserto appena enunciato può essere giustificato solo con approssimazioni non irrilevanti, che gli tolgono il diritto di assurgere a principio, e, anzi, come tale è in effetti sbagliato.

Prima di tutto occorre approssimare il campo gravitazionale terrestre con un campo uniforme. Questa è una buona approssimazione se ci limitiamo a piccole regioni della superficie terrestre. In realtà i corpi cadono verso il centro della Terra, e la forza di attrazione gravitazionale terrestre cambia con la quota. Se M è la massa gravitazionale della Terra, R il suo raggio medio e h la quota alla quale il corpo si trova, allora la forza con cui la Terra attrae il corpo verso il proprio centro è:

Formula 1 JPG

dove G è la costante di Newton ed m la massa gravitazionale della particella. Qui entra in gioco il principio di equivalenza, che non vogliamo ora discutere, che afferma che si può sempre identificare la massa inerziale mi con quella gravitazionale m. Il corpo, lasciato libero sotto l'azione del campo gravitazionale, inizierà ad accelerare verso il centro delle Terra. Se scriviamo la seconda legge della dinamica nella forma

Formula 2 JPG

e usiamo il principio di equivalenza per semplificare le masse della particella, troviamo:

Formula 3 JPG

Questa formula porta direttamente all'asserto di prima, almeno per particelle idealmente puntiformi. Essa equivale a dire che non possiamo avere informazioni sulla massa di un corpo dal suo moto in un campo gravitazionale.

Ora però la seconda legge della dinamica va scritta in un riferimento inerziale! Sopra abbiamo implicitamente inteso con "a" l'accelerazione della particella relativamente alla Terra, il che è corretto solo se i punti della Terra formano un sistema di riferimento inerziale. Anche in assenza di qualsiasi altra interazione con il resto dell'Universo, nel momento in cui la Terra esercita la forza F sulla particella, quest'ultima fa lo stesso sulla Terra nel verso opposto. Per quanto lentamente, rispetto a ogni riferimento inerziale la Terra comincia ad accelerare e non può più essere considerata inerziale. Il suddetto asserto è vero solamente nella misura in cui il moto della Terra può essere considerato inerziale.

Il punto e che quest'ultima approssimazione non è lecita per analizzare una questione di principio: la caduta del grave sulla Terra riguarda il grave e la Terra, e quindi possiamo isolarli da tutto ma non trascurare l'azione del grave sulla Terra. Per un sistema isolato, possiamo considerare il sistema del centro di massa come inerziale e perciò calcolare l'accelerazione a del grave e quella A della Terra rispetto a tale punto, ottenendo:

Formula 4 JPG

l'accelerazione del grave relativa alla Terra è

Formula 5 JPG

Essa dipende anche dalla massa del grave: particelle di massa maggiore cadono sulla Terra con accelerazione maggiore! L'enunciato corretto del principio conseguente all'esperimento di Galileo dovrebbe quindi essere:

tutti i corpi puntiformi di uguale massa sottoposti all'azione del medesimo campo gravitazionale ne subiscono la medesima accelerazione, indipendentemente dalla loro costituzione.

Per piccoli oggetti che cadono sulla superficie terrestre, possiamo trascurare la massa del grave e scrivere:

Formula 6 JPG
Misurando g0 = 9.81ms-2, G = 6.6710-11Nm2Kg-2, R = 6366Km, possiamo determinare la massa della Terra
Formula 7 JPG

Ma per la Luna non possiamo trascurare la massa nel principio di caduta libera, ed usando la formula di cui sopra per g, otteniamo direttamente da terza legge di Keplero nella forma

Formula 8 JPG

dove a è il semiasse maggiore dell'orbita lunare, T il periodo orbitale della Luna e m la sua massa. Usando le misure

a=384400 Km,                        T=27g 7h 43.2 min,

ricaviamo (con giorni di 86400 secondi)

Formula 98 JPG

(il valore corretto misurato è 7.342 ⋅ 1022Kg). Se usassimo il principio approssimativo enunciato all'inizio, la massa della Luna sarebbe scomparsa da ogni formula e non avremmo potuto determinarla. Un principio corretto ci fa guadagnare qualche informazione in più sulla Luna.

 

Sergio Cacciatori è ricercatore e docente presso il dipartimento di Fisica e Matematica dell'Università dell'Insubria. Si occupa essenzialmente di Fisica Teorica e Fisica Matematica.