350€ precisi, a meno che non hai qualche componente (e nello specifico l'HDD) non ce la fai, ma ti ci avvicini con una cosa del genere:
CASE:
Sharkoon VG4-W
PSU:
Sharkoon WPC 450
MOBO:
Asrock B450m Pro 4
CPU:
AMD Ryzen 3 2200G
RAM:
Corsair Vengeance LPX 8 Gb DDR4 3000 Mhz
HDD:
WD Caviar Blue 1 Tb
Totale 393€. Recuperando l'hard disk come ho detto (40€) arrivi ai 350€ del budget, il PC va bene però per un gaming molto basic, quindi scordati il Full HD a 60 FPS e dettagli ultra.
P.S. Rileggendo meglio ciò che hai scritto, penso che intendevi appunto HDD e Case esclusi, in questo caso potresti anche inserire un 2400G che ha una grafica integrata migliore (anche se venduto e spedito da Amazon non è disponibile), ma sul case assicurati che quello che hai sia idoneo ad accogliere le nuove componenti. Rimanendo con il 2200G, senza HDD e Case, puoi anche inserire un
SSD.