Il cono gelato e la parabola, matematica rinfrescante

Vogliamo continuare a discutere il teorema del cono gelato tagliando il cono in modo diverso rispetto al caso dell'ellisse. Consideriamo un cono circolare retto, ottenuto facendo ruotare una semiretta generatrice G attorno a un fissato semiasse, detto asse del cono. Ricordiamo che l'angolo tra le due semirette, che supponiamo acuto, è la semiapertura del cono.

Assumiamo che l'asse del cono sia verticale e consideriamo poi un piano, che non passi per il vertice del cono, e che rispetto alla posizione orizzontale sia inclinato di un angolo (in radianti), pari cioè al complemento della semiapertura.

In questo modo il piano si trova ad essere parallelo a un'unica retta generatrice come in figura.

Poiché, in particolare, il piano non può tagliare tale retta, non può nemmeno intersecare il cono lungo una curva chiusa. L'intersezione tra il cono e il piano in questo caso viene detta parabola. Possiamo ottenerla sulla scrivania mediante un'abat-jour inclinata in modo che il cono di luce che proietta non salga mai verso l'alto, ma sia al più orizzontale.

Vogliamo nuovamente considerare il cono come se fosse la cialda di un gelato. A differenza del caso dell'ellisse, esiste una sola palla di gelato che possa stare dentro al cono, tangente ad esso lungo un cerchio orizzontale, e tangente al piano. Tale palla deve stare sotto il piano, dato che sopra il piano impedirebbe alla palla di toccare la direttrice G e quindi di appoggiarsi su un intero cerchio del cono. La palla di gelato toccherà dunque il piano in un punto f, detto fuoco della parabola, e il cono lungo un cerchio orizzontale. Tale cerchio giace su un piano orizzontale, che chiamiamo , il quale a sua volta interseca il piano inclinato lungo una retta D detta direttrice della parabola.

Sia p un qualsiasi punto della parabola. Vogliamo dimostrare che la distanza del punto p dalla retta direttrice D è pari alla distanza dello stesso punto p dal fuoco f. A tale scopo, armiamoci di pazienza e facciamo alcune osservazioni.

Consideriamo la retta R passante per il fuoco e parallela alla direttrice G, la nostra famosa direttrice parallela al piano. R è detta asse della parabola e la interseca in un punto detto vertice della parabola. Evidentemente le due rette D e R giacciono sul piano inclinato e sono tra di loro perpendicolari. Per misurare la distanza tra il punto p e la retta direttrice, prendiamo un segmento che congiunge il punto p alla retta D e che sia ad essa perpendicolare, il segmento . Per definizione la distanza tra p e D è la lunghezza di tale segmento. Si noti che per costruzione questo segmento è parallelo alla retta R e dunque alla generatrice G.

Consideriamo il cerchio orizzontale sul cono e passante per p. È evidente che qualsiasi segmento parallelo a che parta da tale cerchio e che termini sul piano è identico a stesso e quindi ha la stessa lunghezza.

Questo è vero in particolare per il segmento mostrato nella figura sottostante. D'altro canto, se immaginiamo di ruotare il cono attorno al suo asse fino a quando il punto si sposta nel punto p, vediamo allora che il segmento viene traslato nel segmento che ha pertanto pari lunghezza.

Infine osserviamo che i segmenti e escono dallo stesso punto p e sono tangenti alla stessa sfera, dunque sono lunghi uguali. Otteniamo quindi la catena di uguaglianze

,

che dimostra esattamente quello che volevamo, ovvero che:

La parabola è il luogo geometrico dei punti di un piano che sono equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa detta direttrice.

Sergio Cacciatori è ricercatore e docente presso il dipartimento di Scienza e Alta Tecnologia dell'Università dell'Insubria. Si occupa essenzialmente di Fisica Teorica e Fisica Matematica.