Maturità 2018, le insidie della traccia di matematica

Ieri è stata la giornata della seconda prova scritta dell'esame di Maturità 2018, che al liceo scientifico era la  prova di matematica. La traccia prevedeva un primo problema su una macchina per la produzione industriale di mattonelle e un secondo problema, decisamente più tradizionale, sullo studio di funzione. Abbiamo chiesto a Sergio Cacciatori, docente presso il dipartimento di Scienza e Alta Tecnologia dell'Università dell'Insubria, di analizzarne per noi i contenuti. Il professore ha trovato di particolare interesse i due problemi, lasciando da parte il questionario di 10 domande, che non nascondeva particolari insidie.

Come potete vedere di seguito, i problemi maggiori si ravvisano nel punto quattro del problema 2, che per la soluzione richiede calcoli difficilmente accessibili ai ragazzi di quinto liceo, sempre ammesso che non ci sia un errore nella traccia stessa. Per questo Cacciatori si dice "curioso di vedere la soluzione proposta dal ministero".

I due problemi non sono poi così diversi, ma quello che più li distingue è la modalità in cui sono posti: mentre il secondo problema è scritto in un linguaggio prettamente matematico, più freddo e conciso, il primo problema è posto in forma più "pratica". Pratica nel senso del linguaggio, perché per quanto riguarda il risolverlo richiede, rispetto all'altro problema, lo sforzo ulteriore di doverlo tradurre in forma matematica, che è ciò che è necessario fare in maniera più o meno esplicita.

Il primo problema, quello più "pratico", è diviso in quattro punti, alcuni più interessanti, altri meno. Il quadrato centrale nella figura 1 di pagina 1 è fatto dei punti  del piano cartesiano che soddisfano l'equazione come si può verificare facilmente. Naturalmente, questo equivale a dire che  

Il secondo punto è solo un pochino noioso. Le condizioni e insieme a e la condizione che l'area colorata sia di quella della piastrella danno 4 equazioni indipendenti per i coefficienti del polinomio . Un polinomio di secondo grado ha solo 3 coefficienti, questo spiega l'impossibilità di una soluzione. Un polinomio di terzo grado ha invece 4 coefficienti e dunque ammette una sola soluzione (essendo il sistema lineare):

E la condizione ? Ormai la soluzione è stata trovata, non resta che verificare che infatti anche è soddisfatta. Per questo basta osservare che quando e che .

Il terzo punto è un pochino più interessante. Consideriamo la funzione ovvero . Il suo grafico, per , è una specie di parabola rivolta verso l'alto che va da a quando varia da a , e sta sempre sotto alla diagonale. Ora osserviamo che se mandiamo otteniamo , mentre se invece mandiamo abbiamo che equivale a .

Il punto è che queste due trasformazioni sono delle riflessioni: ci possiamo convincere facilmente che la trasformazione ribalti la mattonella rispetto all'asse verticale passante per il suo centro  - di coordinate . Infatti essa non tocca la coordinata , ma manda l'ascissa 0 nella 1 e viceversa. La parabola crescente si ribalta allora in una parabola decrescente , ma ancora con la concavità verso l'alto e che sta sempre sotto la diagonale. In particolare, l'area colorata sotto è quindi uguale all'area della parte di piastrella che sta sotto alla curva .

In modo del tutto analogo, la trasformazione ribalta rispetto all'asse orizzontale che passa per il centro della piastrella, girando la parabola sottosopra, in una parabola decrescente e con la concavità rivolta verso il basso.

In questo caso, la parte colorata sotto avrà allora la stessa area della parte di piastrella che sta al di sopra della curva . Da queste osservazioni, dato che le porzioni di piastrella sottostante e sovrastante la curva compongono l'intera piastrella, che ha area 1, ne segue che . In particolare, si annulla quando , mentre tende a 1.

Il quarto punto segue immediatamente dalle osservazioni appena fatte. Nelle piastrelle la parte colorata, che ha la concavità verso il basso, contiene sempre la diagonale (per ogni ) e quindi non succede nulla se vi cade una goccia. Al contrario, per quelle di tipo la parte colorata è sempre sotto la diagonale e dunque si rovinano se cade una goccia. Ci si deve allora aspettare che le gocce cadano su delle piastrelle (il ), di cui probabilmente metà e metà e quindi il delle piastrelle si rovina.

Il secondo problema è più tecnico e per questo leggermente noioso.

Per il punto 1, la retta ha equazione , mentre ha equazione . Uguagliando le ordinate, vediamo che si incontrano nel punto di coordinate .

Il punto 2 segue dal fatto che l'ordinata di è . Per quanto riguarda il grafico, che lasciamo disegnare al lettore, ci limitiamo ad osservare che per cui c'è un unico flesso (in ) e per la concavità è sempre rivolta verso il basso. In particolare questo implica che per il grafico sta sempre al di sotto delle due rette ed , toccandole nei punti di tangenza. Inoltre, dato che uno di tali punti ha ascissa 0  e che la concavità si volge verso l'alto per , la curva sta sopra alla retta per . Questo ci aiuta per il punto successivo.

Il punto 3: il triangolo ha per vertici il punto  e i punti e in cui ed rispettivamente intersecano l'asse delle ascisse. Per le osservazioni fatte poc'anzi, i punti del triangolo che stanno sopra al grafico hanno solo ascissa positiva.

L'area della regione che ricoprono è dunque quella della parte di triangolo in al quale sia sottratta la parte sotto la porzione di curva laddove . A questo punto qualunque matematico direbbe che il problema è mal posto: la probabilità dipende dalla definizione con cui si intende prendere a caso. Tuttavia è ragionevole intendere che tutti i punti siano equivalenti, nel senso che la probabilità da associare a una piccola porzione occupata da un insieme di punti è proporzionale all'area di tale regione. Sotto questa ipotesi, la probabilità cercata è data dal rapporto tra la suddetta area della regione occupata dai punti sovrastanti e l'area dell'intero triangolo.

L'area dell'intero triangolo è facile da calcolare. A questa dovremo sottrarre l'area della porzione di triangolo con ascissa negativa ed anche l'area della porzione di triangolo sottostante . Questa ultima è:

dove è soluzione di .

Ed è qui che un po' mi stupisco, poiché si tratta di risolvere la cubica , fattibile con la formula di Cardano, ma mi sorprenderebbe che ai ragazzi fosse richiesto conoscerla.

Il risultato è

Detto ciò, lasciamo al lettore di completare i passaggi restanti per calcolare questa probabilità finale.

Infine il punto 4: Il vettore tangente ad un retta , uscente dall'origine, ha componenti . Per un polinomio di grado , il vettore tangente nel punto di ascissa ha componenti , e la retta ad essa perpendicolare ha coefficiente angolare (se .

Cosa succede se ?), quindi è descritta dall'equazione

Questa retta passa per l'origine se e solamente se

cioè per

Ora, se è un polinomio di grado , allora la sua derivata è un polinomio di grado e il prodotto è un polinomio di grado . Questo basta a rispondere al quesito.

Sergio Cacciatori è ricercatore e docente presso il dipartimento di Scienza e Alta Tecnologia dell'Università dell'Insubria. Si occupa essenzialmente di Fisica Teorica e Fisica Matematica. 

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