Il redshift gravitazionale, deduzione in formule matematiche

In questa breve nota presentiamo una deduzione elementare di un fenomeno relativistico noto come redshift gravitazionale, ricavato per la prima volta da Albert Einstein come conseguenza diretta della sua teoria della Relatività Generale. Molto semplicemente ciò che avviene è che quando un raggio di luce si allontana da un corpo massivo come può essere una stella, la lunghezza d'onda della luce aumenta cosicché il suo colore si sposta verso il rosso.

Per dedurre tale effetto considereremo una scatola cilindrica di altezza l immersa in un campo gravitazionale g costante, con l'asse di simmetria parallelo alle linee di forza del campo. Le due basi del cilindro sono composte da due specchi perfettamente riflettenti e all'interno della scatola si muove su e giù un fotone nella direzione del campo gravitazionale. Idealmente assumiamo che l'involucro della scatola sia privo di peso.

Sia E l'energia del fotone. Dalla nota relazione di Einstein

E = mc²

possiamo associare al fotone una massa inerziale pari a . A tale massa corrisponde, per il principio di equivalenza, un'eguale massa gravitazionale. Possiamo dunque supporre che il fotone eserciti sulla scatola una forza peso pari a

D'altro canto la forza che il fotone esercita sulla scatola può essere calcolata anche in quest'altro modo. Sia p_i  la quantità di moto del fotone quando raggiunge la faccia inferiore della scatola. Urtando la parete il fotone trasferisce alla scatola una quantità di moto pari a 2 p_i. Dall'elettrodinamica di Maxwell sappiamo che tra l'energia del fotone e la sua quantità di moto sussiste la relazione

Dunque la quantità di moto trasferita dal fotone alla faccia inferiore della scatola vale essendo E_i  l'energia del fotone quando giunge in prossimità della faccia inferiore della scatola. Il fotone trasferisce alla scatola tale quantità di moto in un tempo medio Δt pari a , essendo questo il tempo impiegato dalla luce a risalire e discendere l'altezza l della scatola.

Dalla formula di Newton

possiamo calcolare il valore della forza esercitata dal fotone sulla scatola per mezzo dell'urto sulla faccia inferiore. Tale forza vale Con un ragionamento analogo calcoliamo la forza esercitata dal fotone sulla scatola a seguito degli urti sulla faccia superiore. Essa vale , dove E_s  è l'energia del fotone quando giunge sulla cima della scatola.

La forza peso totale esercitata dal fotone sulla scatola vale da cui:

Sfruttiamo ora la relazione che lega l'energia di un fotone alla sua frequenza:

per riesprimere la precedente relazione in funzione della frequenza:

Abbiamo così dedotto che la frequenza ν di un fotone diminuisce man mano che questo risale un campo gravitazionale. Dalla relazione di dispersione

Λν = c

segue che la sua lunghezza d'onda λ è aumenta e quindi il colore del fotone vira verso il rosso.

Possiamo poi per completezza considerare il caso in cui la scatola sia immersa nel campo gravitazionale generato da un corpo sferico di massa M e raggio r. Sia come prima l  l'altezza della scatola e supponiamo l  molto grande. Il peso del fotone sarà dato dalla media della forza di gravità generata dal corpo sferico: 

Ricordando che l  è grande, il precedente integrale vale

Per cui

Esprimendo come prima i valori di F_s ed F_i  ed m  in funzione dell'energia del fotone e quindi della sua frequenza otteniamo:

Sergio Cacciatori è ricercatore e docente presso il dipartimento di Scienza e Alta Tecnologia dell'Università dell'Insubria. Si occupa essenzialmente di Fisica Teorica e Fisica Matematica. 

Massimo Bertini, insegnante di liceo.