La congettura di Eulero e la smentita più breve della storia

Errori, grandi scoperte, misteri che richiedono anni per essere svelati e soluzioni geniali sconfessate in 3 righe: la matematica è tutt'altro che noiosa! Un esempio è la storia che ha portato alla stesura del paper scientifico più breve di tutti i tempi, che in 2 frasi smentisce la congettura di Eulero. Non solo: la scoperta della soluzione avvenne per errore.

Più o meno tutti conosciamo il Teorema di Pitagora per i triangoli rettangoli, o almeno lo abbiamo studiato a scuola: l'area del quadrato costruito sopra l'ipotenusa è pari alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

Shortest-known paper in a serious math journal.  Two sentences. pic.twitter.com/TW2wHn3JPS

-- Cliff Pickover (@pickover) 7 aprile 2015

Un po' meno note sono le terne pitagoriche, anche se ne abbiamo già parlato in un articolo dedicato all'ultimo teorema di Fermat, del quale anche vogliamo brevemente ricordare il senso. Supponiamo di costruire un triangolo rettangolo di cateti lunghi e . Se è la lunghezza dell'ipotenusa allora il teorema di Pitagora ci permette di calcolarla dato che

Ora ci chiediamo: se e sono numeri interi, può essere che lo sia anche ? In generale la risposta è no, per esempio se prendiamo troviamo . Ma per alcune scelte di numeri interi e anche  lo è. Per esempio, se e , troviamo . In tal caso, se , si dice che la terna è una terna pitagorica. Di terne pitagoriche ce ne sono tante altre, sono infinite.

Nel 1637, il matematico francese Pierre de Fermat, che faceva il magistrato per minimizzare i suoi contatti con le persone, congetturò che non possono esistere terne intere che soddisfino una tale relazione con esponente intero maggiore di 2: cioè se e sono numeri interi positivi e è un intero, allora un numero che soddisfi la relazione

non può essere intero. Questo è l'ultimo teorema di Fermat. Non perché fosse l'ultimo teorema da lui enunciato, ne enunciò molti altri dopo di questo. Tra questi ce ne furono 40 che egli non dimostrò mai, come non dimostrò il cosiddetto ultimo. E di quest'ultimo scrisse, a margine di una pagina di un libro di Diofanto sull'aritmetica, che disponeva di una elegante dimostrazione che però non aveva spazio sufficiente per scriverla in tale margine.

Probabilmente una burla, poiché ci sono voluti oltre tre secoli per dimostrarlo e la dimostrazione finale, ottenuta dal matematico britannico Andrew Wiles nel 1995, è enormemente lunga e fa uso di concetti che non erano neppure immaginabili già solo un secolo fa. "Ultimo" viene appunto dal fatto che gli altri 39 teoremi furono nel frattempo dimostrati nei secoli precedenti e rimase solo questo a resistere ad ogni tentativo.

Ma non è che tutti i tentativi fatti negli anni precedenti fossero falliti. Fallirono quelli che tentarono di dimostrare il teorema per ogni . Ma già Fermat disponeva di una dimostrazione quando . E il grandissimo matematico svizzero Leonhard Euler, in Italia più noto come Eulero, nel XVIII secolo dimostrò l'ultimo teorema di Fermat nel caso in cui . Cioè provò che non esistono tre numeri interi positivi tali che

Però il grande Eulero si accorse che riusciva a soddisfare questa uguaglianza con quattro numeri interi positivi invece che 3, ovvero esistevano tre interi positivi tali che

con anch'esso intero positivo. Per esempio possiamo prendere , , e e verificare che infatti

Preso dall'entusiasmo, Eulero credette di aver capito come stavano le cose. Le terne pitagoriche, i cui numeri sono elevati al quadrato, funzionano per la somma di due quadrati. Per la somma dei due cubi non funziona più proprio per il teorema di Fermat, ma se sommiamo 3 di cubi allora può funzionare.

Eulero pensò dunque che la regola generale potrebbe essere la seguente: se eleviamo alla potenza -esima numeri interi e vogliamo sperare di ottenere ancora un numero intero elevato alla potenza , allora deve essere almeno pari a . Così elevati alla potenza 4 dobbiamo sommare almeno 4 interi, alla potenza 5 almeno 5 eccetera. Era una congettura perché Eulero non riuscì a dimostrarla.

Le congetture sono spesso più importanti dei teoremi stessi perché sono affermazioni molto difficili da dimostrare e il tentativo di dimostrarle spinge i matematici a sviluppare idee innovative.

Non è dunque l'affermazione contenuta nell'enunciato della congettura ad essere importante, quanto i numerosi percorsi fatti per tentare di dimostrarla. Esse sono il risultato della formidabile intuizione di menti sopraffine che riescono a intuire qualcosa in più pur non sapendola dimostrare.

Ma a volte anche le intuizioni delle menti eccelse possono essere sbagliate (il che non può che consolarci) ed è questo il caso della congettura di Eulero. I primi ad accorgersene furono L. J. Lander e T. R. Parkin, che usando un computer nel 1966 scoprirono che

dunque con ma in barba ad Eulero. Ironia della sorte, la scoperta fu fatta per caso, perché i due matematici non esclusero lo zero dai numeri validi e il programma per computer che crearono con l'idea di trovare soluzioni con 4 quinte potenze portò in realtà a una soluzione con 5 potenze, di cui una appunto lo zero.

Nel 1988 poi Roger Frye scoprì l'uguaglianza

che viola la congettura di Eulero quando . Ce ne sono altre con , ma questa è l'unica per cui tutti i numeri coinvolti sono più piccoli di un milione.

Insomma, anche un gigante come Eulero ogni tanto può prendere un granchio. Meno male.

Sergio Cacciatori è ricercatore e docente presso il dipartimento di Scienza e Alta Tecnologia dell'Università dell'Insubria. Si occupa essenzialmente di Fisica Teorica e Fisica Matematica. 

 

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