Ci sono alcuni problemi matematici che nel tempo si trasformano in vere e proprie sfide e la loro soluzione è così importante che vengono messi in palio premi più o meno cospicui per la loro risoluzione. Un esempio classico sono i cosiddetti Millenium Problems, per la soluzione di ciascuno dei quali è in palio un premio da un milione di dollari. Ci sono poi eccezionali problemi la cui soluzione è stata ricompensata con cifre anche superiori, come questo recente.
I Millenium Problems richiedono un po' di fatica ciascuno per essere raccontati, ma vi sono problemi ancora più interessanti per il semplice fatto che possono essere formulati in modo elementare, tutti possono comprenderli, ma la cui soluzione resiste anche agli attacchi delle più brillanti menti matematiche.
Uno degli esempi più celebri è "L'ultimo teorema di Fermat''. Una sfida lanciata dal matematico e magistrato Pierre de Fermat nel 1637 e risolta dal matematico Andrew Wiles solo nel 1994, vincendo un premio di "sole" 50.000 sterline, che era stato messo in palio molto tempo prima, quando rappresentavano ancora una cifra esorbitante. Ma in un certo senso la sfida di Fermat non si può ancora considerare definitivamente risolta, vediamo perché.
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Tutti a scuola hanno studiato (più o meno) il teorema di Pitagora sui triangoli rettangoli: l'area del quadrato che ha per lato l'ipotenusa è pari alla somma delle aree dei due quadrati aventi per lati i cateti. Ci si può chiedere se sia possibile costruire triangoli rettangoli i cui lati abbiano lunghezza intera, cioè se a e b sono le lunghezze dei cateti e c quella dell'ipotenusa, allora ci chiediamo se esistono a,b e c numeri interi tali che .
Se esistono, l'insieme di numeri (a,b,c) si dice essere una terna pitagorica. Di terne pitagoriche ne esistono tante, infinite. Per esempio (3,4,5) o (5,12,13) o (15,112,113) sono terne pitagoriche come è facile verificare. Se costruiamo un triangolo rettangolo in cui un cateto è lungo esattamente 3 metri e l'altro 4 metri, allora l'ipotenusa sarà lunga esattamente 5 metri.
Se (a,b,c) è una terna pitagorica, certamente lo è anche (ma,mb,mc) per qualsiasi numero intero positivo m, dato che . Quindi ci sono infinite terne pitagoriche. Ma ci si può chiedere cosa cambi se invece che i quadrati si costruiscono i cubi o le potenze quarte eccetera.
Esistono tre numeri interi positivi (a,b,c) tali che dove n è un numero intero più grande di 2?
L'ultimo teorema di Fermat afferma che la risposta è no: non esistono terne di numeri interi con questa proprietà se n>2. Lo scrisse nel margine di pagina di un testo di aritmetica, aggiungendo che non vi era in tale margine lo spazio per scriverne anche la dimostrazione. Nessuno sa se egli davvero fosse stato capace di dimostrare tale affermazione, ma certamente, se l'aveva fatto, doveva basarsi su tecniche relativamente elementari.
Per più di tre secoli moltissimi matematici, tra cui anche l'eminente Eulero, hanno tentato invano di risolvere il problema generale di Fermat (Eulero riuscì solamente a dimostrare che Fermat aveva ragione nel caso n=3 e quindi per i suoi multipli), fin quando Andrew Wiles, usando le più avanzate scoperte matematiche della fine del secondo millennio, metodi talmente complessi da essere accessibili solamente a pochissimi luminari specializzati, è riuscito a dimostrare che l'ultimo teorema di Fermat è vero per tutti gli interi n>2, con una dimostrazione che richiede qualche centinaio di pagine di complicatissime elaborazioni. Ma se davvero esista una dimostrazione elementare, che possa basarsi sulle conoscenze della matematica del 1600, questo ancora nessuno lo sa e chi riuscisse a trovarla certamente acquisterebbe fama e gloria.
Capire l'enunciato del teorema di Fermat non richiede studi universitari. Basta sapere cosa sono i numeri interi, cosa vuol dire elevarli a potenza intera e poco altro. E vien da pensare che anche per trovare una sua dimostrazione elementare, che possa essere altrettanto facilmente capita da tutti, richieda di non studiare troppo altrimenti si rischierà di rimanere accecati dai metodi matematici più sofisticati, con i loro affascinanti poteri, e si finirà con il non riuscire a vedere la via più semplice, quella che, forse, vide Fermat.
Chissà se un giorno un "non matematico'', magari uno studente di liceo, oppure un magistrato come il signor Pierre de Fermat (che si occupava di matematica solo per passione) bagnerà il naso al professor Wiles, al grande Eulero e a tutti coloro che ci hanno provato nei secoli.
Ma in questo periodo di feste non si può resistere a proporre un altro problema "elementare": il giorno di Natale, il 25, un quadrato perfetto, cioè il quadrato di un numero intero, , è seguito dal numero 26 che precede il 27, un cubo perfetto (
). Di numeri come il 26, cioè che succedono un quadrato perfetto e precedono un cubo perfetto, ne esiste un numero finito. Chissà se tra i nostri lettori ce n'è qualcuno in grado di trovarli tutti!
Sergio Cacciatori è ricercatore e docente presso il dipartimento di Scienza e Alta Tecnologia dell'Università dell'Insubria. Si occupa essenzialmente di Fisica Teorica e Fisica Matematica.
Se questo articolo vi ha stuzzicato, leggete l'ottimo libro "L'ultimo teorema di Fermat. L'avventura di un genio, di un problema matematico e dell'uomo che lo ha risolto".