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Tecnologia

Un miracolo matematico

Un esempio pratico di come la topologia, la geometria e l'analisi matematica possano fare un piccolo miracolo.
universita insubria

Se a qualcuno venisse chiesto di dare un esempio di miracolo, molti risponderebbero citando la moltiplicazione dei pani e dei pesci dal Vangelo. Senza alcun ricorso all'inganno, come farebbe un prestigiatore, sembra andare contro ogni buon senso, e appare impossibile. E la Fisica ci dice che è davvero impossibile: duplicare un oggetto richiede creare massa dal nulla, violando uno dei presupposti fondamentali su cui si regge la nostra comprensione dell'Universo. Per questo motivo usiamo la parola miracolo.

1280px Banach Tarski Paradox svg

Ma, per quanto sembri strano, nella geometria di Euclide, quella che tutti abbiamo visto fin dal primo anno di scuola, questo miracolo è fattibile.

Infatti, il Teorema di Tarski-Banach in topologia afferma

La sfera unitaria D3 in R3 è equidecomponibile con D3 unito a D3.

Volutamente si è preferito mantenere l'enunciato matematico: esso contiene una precisa descrizione di cosa sia vero, e il gergo tecnico serve per evitare ogni ambiguità. Ma un matematico è in grado di leggerlo e, se vuole, può aiutare a penetrarne il senso.

Infatti, smontando l'enunciato, la sfera unitaria D3 in R3 è, semplicemente, una sfera di raggio 1 che si trova nel solito spazio, così come abbiamo imparato a conoscere sin da bambini. La formula D3 unito a D3 indica due sfere, identiche a D3, poste una accanto all'altra, senza che si sovrappongano o tocchino in alcun punto.

Invece, equidecomponibile è un poco più complicato. La definizione, come da testo di matematica, è oscura:

Due sottoinsiemi S e T di R3 sono detti equidecomponibili se esistono A1,…, Am sottoinsiemi di R3 tali che sia S che T siano decomponibili in A1,…, Am.

A sua volta, la definizione formale di decomponibile è

Un sottoinsieme S di R3 è decomponibile in A1,…, Am se esistono ø1,…, øm isometrie di R3 tali che (I) S sia l'unione di øk (Ak) per ogni k  tra 1 e m, e (2) øi(Ai) sia disgiunto da øj(Aj) per ogni i  ≠ j.

Partiamo dalla seconda definizione: un oggetto S nello spazio è decomponibile nei mattoncini A1,…, Am se è possibile trovare un modo per muovere ogni mattoncino in modo che (1) il risultato del movimento dei mattoncini sia l'oggetto S, e (2) i mattoncini sono accostati senza sovrapporli, schiacciarli o deformarli.

A questo punto, la definizione di equidecomponibile diventa chiara: due oggetti S e T sono equidecomponibili se possono essere assemblati a partire dagli stessi mattoncini, muovendo i pezzi nello spazio in modi anche diversi ma senza che, alla fine, i mattoncini si sovrappongano, vengano deformati o tagliati in alcun modo. Inoltre, ed è importante, i mattoncini sono in un numero finito, vengono usati tutti, e non sono necessariamente tutti uguali.

Quindi, fuori dal gergo matematico, il Teorema di Tarski-Banach afferma che è possibile trovare un insieme finito di mattoncini (la dimostrazione ne trova cinque) che, come nel Lego, possiamo usare per assemblare la sfera di raggio 1, oppure due sfere di raggio 1. Una descrizione molto precisa per un autentico miracolo matematico!

Banach Poland 1982

In realtà, sarebbe più corretto dire che è magia nera. Infatti, la forma dei mattoncini è molto particolare. Possiamo immaginarli come delle mostruose spugne, infinitamente bucherellate ed estremamente dense, ma senza alcuna parte continua. Diciamo, per capirci, della consistenza delle nuvole in cielo, ma in cui le gocce d'acqua sono ridotte a singoli punti. I mattoni devono avere questa forma per poter imbrogliare il mondo: ogni mattoncino deve essere privo di volume o, come direbbe un matematico serio, non avere una misura di Lebesgue, solo così è possibile effettuare il miracolo di raddoppiare il volume senza aggiungere parti.

Ma costruire mattoni siffatti richiede un principio logico raffinato: l'Assioma della Scelta. Che si può enunciare come

Ogni insieme ha una cardinalità.

O, fuori dal gergo specialistico, di ogni insieme, anche infinito, è possibile dire quanto sia grande: c'è un metro per misurare la numerosità di tutti gli insiemi.

Inutile dire che per un matematico il Teorema di Tarski-Banach è affascinante. Perché mostra come sia possibile effettuare una costruzione impossibile. Perché mette assieme topologia (lo studio dello spazio), geometria (lo studio delle figure), analisi matematica (il calcolo dei volumi) e logica (i principi di ragionamento), tutte rivolte a risolvere un unico problema.

Marco Benini è ricercatore in Logica Matematica presso il Dipartimento di Scienza e Alta Tecnologia dell'Università degli Studi dell'Insubria. I suoi principali interessi di ricerca vertono sulla matematica costruttiva, con speciale riguardo al rapporto tra deduzione e computazione. Si occupa in particolare di semantiche prive di punti per sistemi costruttivi, dove il significato di una teoria matematica viene espresso mediante un particolare spazio di funzioni calcolabili. Attualmente è vice-coordinatore del progetto di ricerca europeo CORCON "Correctness by Construction".