La simulazione accurata dei sistemi quantistici a molti corpi rappresenta una delle sfide più complesse della fisica moderna, dove l'interazione di numerose particelle quantistiche genera comportamenti collettivi che sfuggono alle tradizionali tecniche computazionali. Come sottolineava il teorico della materia condensata Philip W. Anderson, "di più è diverso": anche conoscendo le leggi fondamentali che governano le particelle elementari, prevedere il comportamento emergente di sistemi complessi rimane un'impresa titanica. Un team internazionale di ricercatori ha ora sviluppato un approccio rivoluzionario che potrebbe trasformare radicalmente il modo in cui affrontiamo questi problemi computazionali apparentemente intrattabili.
Quando le simmetrie diventano alleate inaspettate
Il metodo tradizionale della teoria delle perturbazioni, pur essendo stato ampiamente utilizzato per decenni, mostra i suoi limiti quando i sistemi quantistici si discostano significativamente dal regime non-interagente. È in questo contesto che gli approcci basati sulla teoria dell'informazione quantistica hanno iniziato a mostrare risultati promettenti, sfruttando il fatto che gli stati quantistici a bassa energia dei modelli locali presentano un entanglement relativamente limitato rispetto agli stati quantistici generici.
Laurens Lootens dell'Università di Cambridge, insieme ai colleghi dell'Institut des Hautes Études Scientifiques e dell'Università di Gent, ha introdotto una strategia innovativa pubblicata su Nature Physics. "I lavori recenti hanno consolidato gli operatori a prodotto matriciale, un tipo di operatore rappresentato come rete tensoriale che codifica esplicitamente la sua struttura di entanglement, come il linguaggio corretto per studiare le simmetrie globali generalizzate dei sistemi quantistici unidimensionali", spiega Lootens.
La matematica delle categorie di fusione
Dal punto di vista matematico, queste simmetrie sono codificate in strutture chiamate categorie di fusione, che generalizzano i gruppi ordinari. Gli operatori a prodotto matriciale rappresentano i diversi modi in cui tali simmetrie possono agire su una catena di spin quantistici, aprendo nuove possibilità computazionali prima impensabili.
Il metodo sviluppato dal team si distingue per la sua capacità di unire la componente teorica più recente riguardante la teoria delle rappresentazioni delle simmetrie generalizzate con i metodi variazionali consolidati per l'ottimizzazione degli stati a prodotto matriciale. Questa combinazione ha permesso ai ricercatori di dimostrare che qualsiasi Hamiltoniano quantistico unidimensionale con simmetria può essere mappato su un Hamiltoniano duale equivalente con lo stesso spettro, ma il cui stato fondamentale rompe spontaneamente la simmetria duale completa.
Efficienza computazionale attraverso la rottura di simmetria
L'approccio variazionale impiegato dai ricercatori consente di ottenere stati fondamentali che rompono la simmetria dei sistemi quantistici a molti corpi con un'efficienza molto superiore rispetto agli approcci simmetrici tradizionali. Questi ultimi, infatti, impongono generalmente ridondanze nei pattern di entanglement che risultano computazionalmente costose da gestire.
"Mappando su un modello che rompe la simmetria rimuoviamo questa ridondanza e riveliamo la struttura matematica che sostiene lo stato fondamentale così come il suo spettro di eccitazioni quasi-particellari", afferma Lootens. Questo processo amplia significativamente lo scopo dei metodi tensoriali simmetrici tradizionali, che funzionano bene solo nella fase completamente simmetrica.
Un ponte tra matematica e computazione
Il metodo ideato da Lootens e colleghi si posiziona strategicamente all'intersezione tra strategie matematiche e computazionali. Da un lato, fornisce il framework matematico necessario per descrivere il comportamento a bassa energia di una catena di spin quantistici generica. Dall'altro, offre un modo completamente nuovo di sfruttare le simmetrie nei sistemi di spin quantistici, risultando più semplice ed efficiente dei metodi attuali ed estendendo la loro applicabilità a tutte le possibili fasi con gap.
Il team ha applicato il loro metodo allo studio di sistemi quantistici unidimensionali, più semplici da affrontare sia matematicamente che computazionalmente. Tuttavia, le ambizioni future puntano verso sistemi a molti corpi di dimensioni superiori e maggiore complessità.
Verso la terza dimensione e oltre
I metodi di rete tensoriale sono stati ampiamente applicati anche a problemi di dimensioni superiori, sebbene questi si rivelino notoriamente impegnativi e la loro complessità computazionale sia significativamente peggiore rispetto al caso unidimensionale. "Per questa ragione è ancora più importante sfruttare tutte le possibili simmetrie presenti in questi modelli, il che richiede la generalizzazione del nostro approccio al caso di dimensioni superiori", sottolinea Lootens.
Fortunatamente, negli ultimi anni sono stati compiuti progressi significativi nella comprensione matematica delle simmetrie generalizzate di dimensioni superiori. I ricercatori sono convinti che questo avrà forti ripercussioni sulla trattabilità numerica del problema quantistico a molti corpi nelle dimensioni superiori, aprendo scenari fino a oggi inesplorati nella simulazione di sistemi quantistici complessi.
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