Qualche giorno fa è circolata sul web una formula matematica suggerita per calcolare la distanza di sicurezza per i mezzi a guida autonoma. La potete trovare in questo PDF pubblicato su ArXiv ed è opera degli autori Shai Shalev-Shwartz, Shaked Shammah, Amnon Shashua (CEO di Mobileye, recentemente acquisita da Intel). La stampa internazionale ne ha parlato perché l'argomento è di grande attualità e poterlo liquidare con una sola, semplice formula sarebbe un problema in meno di cui preoccuparsi.

Analizzandola con attenzione però mi sono reso conto di due fatti. Primo, nella famosa formula c'è un piccolo errore, che comunque non è grave perché fornisce una distanza più grande di quella che si ottiene con la formula giusta, quindi è un errore che in realtà gioca a favore della sicurezza.

Il problema grosso è che questa formula è basata sull'ipotesi che tutte le automobili quando frenano subiscano la stessa decelerazione: un grave errore concettuale. Ecco perché in questa pagina calcolo una formula più generale, che tiene conto del fatto che le diverse automobili possano avere freni di diversa qualità, dimostrando che se l'auto dietro ha i freni meno buoni di quella davanti, nel caso di frenata brusca con la formula del PDF le due auto si scontrano.

In conclusione la formula proposta non è affidabile per la sicurezza. Quella che ricavo nell'articolo lo è di più, ma si potrebbe fare ancora di meglio – per esempio tenendo conto della resistenza dell'aria o del fatto che l'auto davanti possa sbandare roteando su se stessa.

Partiamo con il piccolo errore a cui facevamo riferimento e correggiamolo per partire da una formula più precisa e priva di errori. Consideriamo due automobili che corrono su un rettilineo, l'auto  dietro all'auto . L'auto  è lunga e all'istante  sta viaggiando con velocità , mentre è lunga e si muove con velocità .

La distanza tra i centri delle due automobili è . Naturalmente, poiché le due auto non si toccano, si ha che . La distanza  è la lunghezza media delle automobili.

Ora la distanza minima di sicurezza deve essere tale per cui nella peggiore delle situazioni l'automobile non vada ad urtare quella davanti. La peggiore delle situazioni è quella in cui l'auto davanti frena con la massima decelerazione possibile, che chiameremo , fino a fermarsi. Dopo un tempo di reazione anche l'auto dietro decelererà con la massima accelerazione possibile, diciamo .

Per rendere la situazione peggiore assumiamo che prima di reagire, durante l'intervallo di tempo , l'auto posteriore stesse accelerando con la maggiore accelerazione possibile .

La distanza tra le due automobili potrà cambiare nel tempo durante questo evento, ma dobbiamo imporre che sia sempre maggiore di L in modo da evitare l'urto. Passiamo dunque ai calcoli.

Il moto dell'automobile è uniformemente decelerato, essa parte con velocità iniziale dalla posizione (mentre è nell'origine dell'asse x). La legge del moto uniformemente accelerato ci dice che la velocità dell'auto varia secondo la legge , mentre la sua posizione varia secondo la legge oraria

In particolare, essa si ferma all'istante per il quale ovvero

La sua posizione d'arresto è

Il moto di è leggermente più complicato dato che nell'intervallo di tempo accelera uniformemente, con accelerazione e per il restante tempo () decelera con decelerazione , essendo al tempo in con velocità . Le leggi del moto accelerato ci dicono allora che la sua velocità e la posizione all'istante sono rispettivamente

e

La seconda auto si arresterà all'istante per il quale :

Fintanto che nessuna delle due auto si arresta la distanza tra i veicoli è quindi

Volendo insistere a considerare la situazione peggiore, quello che può accadere è che , ovvero che l'auto di fronte si arresti prima di quella dietro. Questo vuol dire che la distanza finale tra le due auto (nell'ipotesi che non urti ), quando entrambe sono ferme, sarà

,

dove

è il tratto percorso da dopo che si è fermata. Si noti che avremmo potuto scrivere direttamente , che darebbe lo stesso risultato, ma la formulazione che abbiamo scelto porta più rapidamente alla formula che si trova in letteratura. Sostituendo, troviamo dunque

L'urto non avverrà se tale distanza supera la distanza tra i centri dei veicoli quando si toccano, ovvero per , che implica

La distanza di sicurezza cercata è quindi

Questa formula in realtà generalizza quella pubblicata da Intel (e la corregge). Infatti la formula pubblicata assume che le accelerazioni di frenamento per le due vetture coincidano: ponendo otteniamo la formula pubblicata

Nella formula pubblicata da Intel (e anche nell'articolo di Shalev-Schwartz, Shammah e Shashua da cui è presa) c'è un piccolo errore in quanto manca il termine nell'ultimo addendo. Come accennato sopra non si tratta di un errore grave dato che con esso si ottiene una distanza di sicurezza un po' maggiore di quella in realtà determinata dai calcoli corretti e data dalla nostra , e perciò va a favore della nostra sicurezza.

La critica invece più rilevante riguarda proprio l'assunzione , ovvero che le due automobili abbiano la stessa decelerazione. Questa ipotesi fa sì che in scompaia l'ultimo addendo, cioè il termine

riducendosi alla formula per .

Questo però equivale ad assumere che tutte le automobili debbano frenare nello stesso esatto modo, fatto che potremmo anche ipotizzare vero alla costruzione, ma potrebbe accadere che le gomme o i freni di siano un po' più usurati di quelli di , in modo che l'auto dietro freni un po' meno, ovvero .

In questa situazione vediamo che se usiamo formula per  otteniamo un valore sbagliato per la distanza di sicurezza perché il termine cancellato non è più nullo ma positivo e quindi . Veicoli a guida autonoma pilotati da un computer che basi la sicurezza sulla formula (pubblicata da Intel) potrebbe quindi portare a situazioni di pericolo a causa di questa trascuratezza: nel caso in cui l'auto dietro abbia freni peggiori di quelli dell'auto che la precede potrebbe diventare un problema se i veicoli venissero disposti dalla guida automatica a una distanza maggiore di ma purtroppo inferiore alla vera distanza minima necessaria ad evitare lo scontro tra i due mezzi in caso di brusca frenata.

Del resto il risultato da noi ottenuto non fa che confermare il buon senso: maggiore è l'usura dei freni maggiore è la distanza da tenere dall'auto che ci precede per essere sicuri di poter frenare in tempo in caso di emergenza.

Speriamo che le eventuali automobili del futuro usino formule più accurate per la nostra sicurezza!

Sergio Cacciatori è ricercatore e docente presso il dipartimento di Scienza e Alta Tecnologia dell'Università dell'Insubria. Si occupa essenzialmente di Fisica Teorica e Fisica Matematica.