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Il palloncino e la bilancia, un semplice problema di Fisica

universita insubria

Su una bilancia a due piatti sono appoggiati due palloncini di gomma sottile identici, vuoti, in modo tale che la bilancia sia in perfetto equilibrio. A un certo punto uno dei due palloncini viene gonfiato d'aria fino a un certo volume V, poi annodato e dopo un po' di tempo viene rimesso al suo posto sul piattino della bilancia. Cosa accade allora alla bilancia? Resta in equilibrio o cade da una delle due parti?

Per rispondere dobbiamo fare alcune considerazioni fisiche. Da una parte possiamo osservare che il palloncino riempito d'aria è più pesante del palloncino vuoto perché contiene dell'aria che, per quanto leggera, pesa più del nulla. Se questo fosse tutto dovremmo concludere che la bilancia non resta più in equilibrio ma invece pende dalla parte del palloncino gonfio. Infatti è proprio ciò che accade se facciamo tale esperimento: questo fatto fu sostanzialmente la prima prova che l'aria ha un peso. Tuttavia la spiegazione del perché la bilancia scende è un po' più complicata dell'analisi superficiale che abbiamo fatto.

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Foto: © bluecups / Depositphotos

Prima di tutto dobbiamo tener conto del fatto che anche all'esterno del palloncino c'è dell'aria che riempie come un fluido la stanza in cui facciamo l'esperimento. Entrambi i palloncini quindi si trovano immersi nell'aria e a causa del principio di Archimede ricevono una spinta dal basso verso l'alto pari al peso del fluido spostato.

Per via di tale spinta, il peso del palloncino vuoto verrà diminuito dunque del peso di tanto volume d'aria quanto è quello dell'involucro di gomma. Il peso del palloncino gonfio viene invece diminuito del peso di un volume d'aria pari a V, quantità che include il volume dell'involucro di gomma e quello dell'aria in esso contenuta. Vediamo allora che la spinta di Archimede compensa il peso dell'aria contenuta nel palloncino e quindi, apparentemente, non dovrebbe esservi alcun effetto dovuto all'aria contenuta nel palloncino gonfio e pertanto la bilancia dovrebbe restare all'equilibrio anche dopo che abbiamo gonfiato il palloncino.

archimede
Archimede

Questa conclusione è chiaramente sbagliata, come testimonia l'esperimento. Il fatto è che le considerazioni fisiche da fare non sono affatto finite: la densità di massa per unità di volume dell'aria contenuta all'interno del palloncino è più grande di quella dell'aria esterna. Ciò significa che a parità di volume l'aria interna pesa di più dell'aria esterna. Siccome la spinta di Archimede è dovuta all'aria esterna spostata (cioè un volume d'aria esterna pari a quello del palloncino), essa non riuscirà a compensare completamente il peso dell'aria interna, al contrario di quanto abbiamo erroneamente scritto sopra: la bilancia si abbassa dalla parte del palloncino gonfio. Il motivo per cui la densità dell'aria all'interno del palloncino è maggiore di quella all'esterno è che l'aria nel palloncino è compressa dalla forza elastica della gomma, per cui, essendo schiacciata, tale aria ha una massa maggiore a parità di volume. È importante però considerare anche la temperatura!

Facciamo l'ipotesi che l'aria sia un gas perfetto. La legge dei gas perfetti dice che se in un volume V mettiamo un numero N di molecole alla pressione P e alla temperatura T allora queste quantità sono legate tra di loro dalla formula PV = NκT, dove κ è la costante di Boltzmann e la temperatura è misurata in gradi Kelvin.
Se all'esterno del palloncino c'è una pressione P0 e una temperatura T0, e all'interno la pressione è P1 e la temperatura T1, dalla suddetta legge abbiamo che a uguale volume si ha

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essendo Ni, i = 1, 2, il numero di molecole del gas contenute in un  fissato volume V alla temperature Ti e alla pressione Pi. Quindi

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Se ogni molecola ha una massa m e se g è l'accelerazione gravitazionale sulla superficie terrestre, vediamo che il peso dell'aria composta di Ni molecole è wi = mgNi e quindi il confronto tra peso interno w1 e peso di fluido spostato w0 è

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La pressione interna del palloncino è maggiore di quella esterna, poiché l'aria interna deve sostenere tanto la pressione esterna quanto la forza elastica del palloncino gonfiato: P1 > P0. Per quanto riguarda la temperatura invece, anche se inizialmente può essere che T1 T0, lo scambio di calore tra il gas più caldo e quello più freddo farà sì che dopo un po' T1 = T0. Vediamo allora che in questa situazione

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e il peso dell'aria interna vince contro la spinta di Archimede, in accordo con l'esperimento.

Sottolineiamo il ruolo della temperatura: se gonfiassimo il palloncino con aria molto calda, in modo che T1 > T0P1/P0, avremmo allora che

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e quindi la situazione si invertirebbe fintanto che l'aria nel palloncino non si raffredda. Questo è sostanzialmente il principio della mongolfiera.

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Foto: © pat138241 / Depositphotos

Un altro modo di cambiare le cose è riempire invece il palloncino di un gas differente le cui molecole hanno massa m' < m. In tal caso, per T1 = T0, troviamo che

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e se m' < mP0/P1 allora w1 < w0. Questo spiega perché i palloncini riempiti di Elio volano mentre se li riempiamo con il nostro fiato cadono a terra.

Sergio Cacciatori è ricercatore e docente presso il dipartimento di Scienza e Alta Tecnologia dell'Università dell'Insubria. Si occupa essenzialmente di Fisica Teorica e Fisica Matematica. 


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