L'equazione di Schrödinger III: un po' di matematica

Questo contenuto è la terza puntata di una serie di quattro articoli preparati per fare in modo che i lettori interessati possano capire l'equazione di Schrödinger ed avere quindi il bagaglio culturale necessario per seguirci nelle puntate a seguire, dove tratteremo l'equazione di Dirac, orbitali di legame e antilegame e molto altro. Se vi siete persi le altre puntate, a questo link trovate la prima puntata, qui la seconda.  

Oggi vogliamo esporre alcuni dettagli matematici tutt'altro che elementari, che sono alla base della meccanica quantistica.

In meccanica quantistica i moti delle particelle sono descritti statisticamente a partire dalla funzione d'onda, una funzione di tipo L² normalizzata. Ora vogliamo vedere qualche dettaglio matematico che ci permetterà in futuro di vedere alcune applicazioni. Una funzione d'onda ψ vive nello spazio di Hilbert L²â„, l'insieme delle funzioni f : â„→â„‚ a valori complessi tali che

Se a è un numero complesso e f(x) una funzione L², allora anche a · f(x) è una funzione L². Non è diffcile inoltre dimostrare che f(x) + g(x) è di tipo L² se lo sono f(x) e g(x). Infatti si noti che se z e w sono due numeri complessi si ha

da cui ricaviamo che  Usando questa abbiamo allora

Se usiamo questo risultato con f(x) e g(x) al posto di z e w abbiamo

Mettendo insieme questi risultati vediamo che per qualunque coppia di numeri complessi a, b e di funzioni f, g di tipo L², anche la loro combinazione lineare af(x) + bg(x) è di tipo L². Questo lo si riassume dicendo che L²(ℝ) è uno spazio vettoriale.

Un secondo punto che abbiamo già introdotto è il prodotto scalare tra due funzioni di tipo L²:

Il lettore può verificare che esso soddisfa le proprietà

dove a e b sono numeri complessi e f, g, h funzioni di tipo L². In questa esposizione semplicata ci accontenteremo di lavorare con funzioni continue di tipo L². Con questa ipotesi suggeriamo ai lettori di tentare di dimostrare che se in particolare  allora f=0. Noi vogliamo invece qui dimostrare un'altra proprietà del prodotto scalare, molto importante nota sotto il nome di disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:

dove  è detta la norma di f. Per dimostrarlo osserviamo che per qualunque numero complesso z, usando le proprietà elencate sopra, si deve avere 

dove abbiamo usato le proprietà del prodotto scalare elencate sopra. Dato che questo deve valere per ogni valore di z, ammesso che  questo deve valere in particolare per  che sostituito sopra fornisce

che implica la disuguaglianza annunciata, essendo

Infine, abbiamo già discusso il fatto che in meccanica quantistica le grandezze fisiche sono descritte da operatori Â, come l'operatore quantità di moto e l'operatore posizione , dai quali si ottengono i valori medi di tali grandezze fisiche come valori di aspettazione definiti da . Vogliamo qui ricordare che con operatore si intende un operatore lineare, cioé una mappa che applicata ad una funzione di tipo L² restituisce una funzione dello stesso tipo, e inoltre soddisfa la seguente importante relazione, detta di linearità:

se a, b sono due numeri complessi e f e g funzioni di tipo L², allora

Per esempio l'operatore posizione ,  definito da  soddisfa ovviamente questa proprietà:

e similmente si può verificare la linearità di

Ma c'è un'altra proprietà che dobbiamo richiedere a un operatore perché possa corrispondere a una grandezza fisica. Quando misuriamo una quantità fisica, per esempio una coordinata di una particella o una componente della sua velocità o la sua energia, eccetera, tale risultato è espresso da un numero reale. Dato che questo numero è verosimilmente espresso dal valore di aspettazione ,  calcolato rispetto alla funzione d'onda ψ, tale valore di aspettazione deve sempre essere reale, qualsiasi sia ψ. Ricordando che ,  questo implica che deve aversi

qualsiasi sia la funzione d'onda ψ(x, t). Un operatore lineare che soddisfa questa identità per ogni ψ viene detto operatore simmetrico. Le grandezze fisiche in meccanica quantistica sono allora descritte da operatori simmetrici. Si può dimostrare che più in generale un operatore simmetrico soddisfa

per ogni copia di funzioni f, g.

Concludiamo questa sessione vericando che ad esempio l'operatore quantità di moto è infatti simmetrico.

Infatti, integrando per parti si ha

dove abbiamo usato che ψ(x, t) si annulla se x → ± ∞. Invitiamo il lettore che voglia impratichirsi a dimostrare che anche l'operatore di posizione è simmetrico.

Sergio Cacciatori è ricercatore e docente presso il dipartimento di Scienza e Alta Tecnologia dell'Università dell'Insubria. Si occupa essenzialmente di Fisica Teorica e Fisica Matematica. 

Massimo Bertini, insegnante di liceo.

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