Tutto sommato. Un esercizio di calcolo in onore di Gauss

Gauss alle scuole elementari fu punito dal suo maestro che gli chiese di sommare tra loro i primi 100 numeri interi. Ma Gauss aveva subito capito come calcolare la somma dei primi N numeri interi. Si era accorto che tale somma è pari a N (N + 1)/2, che per N = 100 fa 5050.

Ci sono tante altre formule simili che si possono determinare, come

eccetera. Ma in Fisica ci sono situazioni in cui bisogna dar senso a tali somme senza arrestarsi ad un valore finito N, ma senza rassegnarsi all'ovvio risultato infinito. Per fare onore a Gauss dimostriamo che

Vediamo come fare. Consideriamo le funzioni

Se s è abbastanza grande (s > 1), i singoli termini della somma diventano sempre più piccoli, abbastanza rapidamente per dare una somma finita. Formalmente invece, per s = 0,−1,−2,−3, ... esse riproducono le somme suddette solo che su "tutti" i numeri interi. L'idea per dare senso a queste somme è di usare le proprietà formali di queste due funzioni, supporre che restino vere anche per valori nulli o negativi di s e vedere cosa succede.

Ora il lettore può divertirsi a verificare che le due funzioni sono legate dalla relazione

cioè la somma degli elementi dispari meno quelli pari si ottiene sottraendo alla somma di tutti gli elementi, due volte la somma dei soli elementi pari. Questo può essere riscritto dicendo che

cosicché ci basta saper calcolare L(s) per calcolare anche ζ (s). 

Riuscire a dare un senso a L(s) per i valori di s ai quali siamo interessati è più facile. Per esempio possiamo scrivere

e ottenere quindi che L(0) = ½. 

Poi possiamo scrivere

e quindi

e ancora, essendo 1+0+0=1², -1-2-1²=-2² , 1+4+2²=3² e così via,

da cui

e così via. 

Da queste formule, usando il legame tra ζ(s) ed L(s) troviamo poi

come promesso.

Attenzione però! Questa magia ha dei limiti che corrispondono alla "scelta" delle operazioni che abbiamo fatto per definire le somme. Per capirlo osserviamo che formalmente

ma anche

Quale delle due è la risposta giusta? La nostra regola è che sappiamo fare una somma a₁ + a₂ + a₃ + ... allora sappiamo anche fare la somma (a1)^s +(a2)^s +(a3)^s +... per ogni s. Da questa osservazione lasciamo al lettore il compito di stabilire che la risposta giusta è la prima.

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Sergio Cacciatori è ricercatore e docente presso il dipartimento di Scienza e Alta Tecnologia dell'Università dell'Insubria. Si occupa essenzialmente di Fisica Teorica e Fisica Matematica.