Il Sole, la Luna, le maree dal punto di vista matematico

Le maree, si sa, sono causate dalla Luna che esercita la sua forza di attrazione sulla Terra, facendo sollevare gli oceani nella direzione Terra-Luna, e provocando la bassa marea nelle direzioni perpendicolari. Ma il Sole ha qualche influenza sulle maree?

Per vederlo consideriamo più in dettaglio l'effetto del campo gravitazionale lunare sulla Terra. Sia M_L la massa della Luna, M_T quella della Terra e R la distanza Terra-Luna. Per la legge di gravitazione di Newton la forza che la Luna esercita sulla Terra è di intensità pari a

dove G è la costante di gravitazione universale. La forza per unità di volume si chiama campo gravitazionale

Ora, le parti della Terra che sono più vicine alla Luna subiscono un campo gravitazionale più intenso di quelle più lontane. Se D è il diametro terrestre, le parti vicine distano dalla Luna R − D/2, mentre quelle più lontane distano R + D/2. La differenza tra tali intensità è dunque

dove abbiamo considerato D « R per approssimare il calcolo. Questa differenza di forze risulta in una forza totale di stiramento che cerca di allungare la Terra, come se afferrassimo un palloncino per le estremità più vicina e più lontana da noi e lo tirassimo a noi con forza maggiore nella parte più vicina. Il palloncino allora si allunga leggermente, comprimendosi invece nelle parti ortogonali all'allungamento. La stessa cosa accade alla Terra, ma in modo evidente solamente per le sue parti molli, ovvero gli oceani.

Ma se la Luna cerca di stiracchiare la Terra, il Sole non è da meno. Per calcolare con quale intensità lo fa possiamo usare la stessa formula determinata sopra, sostituendo alla massa della Luna quella del Sole, M_S, e alla distanza Terra-Luna la distanza Terra-Sole R_S. Dunque

e il rapporto tra i due campi di stiramento (e dunque tra le forze) è

Possiamo calcolare questo rapporto osservando che

M_S ≃  2 · 10³⁰ Kg;

M_L â‰ƒ 7.3 · 10²² Kg;

R ≃  384000 Km;

RS ≃  150000000 Km.

Usando questi dati otteniamo che

ovvero l'influenza del Sole è circa il 50% di quella della Luna! Nonostante sia molto più lontano, il Sole è anche molto più pesante, al punto da influire sulle maree quasi nella stessa maniera.

Possiamo dire qualcosa di più se consideriamo le fasi lunari. In buona approssimazione possiamo dire che la Terra ruota attorno al Sole su un'orbita ellittica, del periodo di un anno, che definisce un piano, detto eclittica terrestre. Nel frattempo la Luna ruota attorno alla Terra su un'orbita ellittica differente, del periodo di circa 28 giorni, che non è esattamente sullo stesso piano dell'eclittica terrestre, ma ne forma un angolo di 5.1 gradi. Tuttavia tale angolo è abbastanza piccolo perché possiamo immaginare le due orbite come giacenti sullo stesso piano, senza commettere un grosso errore. In questa approssimazione vediamo che quando si ha la Luna nuova oppure la Luna piena, Sole Luna e Terra sono allineati e quindi tanto il Sole quanto la Luna cercano di "stiracchiare" la Terra nella stessa direzione sommando gli effetti.

Quando invece la Luna è a metà, crescente o calante, allora gli assi Terra-Luna e Terra-Sole sono perpendicolari, e tali sono anche le direzioni di "stiracchiamento" che tendono quindi a cancellarsi. Poiché l'effetto del Sole non è di molto inferiore al 50% di quello della Luna, tali interferenze sugli effetti di marea non sono trascurabili e pertanto, in media, l'alta e la bassa marea sono maggiori nelle fasi di Luna piena e di Luna nuova.

Sergio Cacciatori è ricercatore e docente presso il dipartimento di Scienza e Alta Tecnologia dell'Università dell'Insubria. Si occupa essenzialmente di Fisica Teorica e Fisica Matematica.