L'equazione di Schrödinger parte II: il significato fisico

Questo contenuto è la seconda puntata di una serie di quattro articoli preparati per fare in modo che i lettori interessati possano capire l'equazione di Schrödinger ed avere quindi il bagaglio culturale necessario per seguirci nelle puntate a seguire, dove tratteremo l'equazione di Dirac, orbitali di legame e antilegame e molto altro. Se vi siete persi la prima puntata, la trovate a questo link.  

Ripartiamo dall'equazione di Schrödinger che descrive il moto di una particella puntiforme di massa m

dove i è l'unità immaginaria,

e U(x) è l'energia potenziale associata a quella che classicamente sarebbe la forza f(x). È utile considerare anche l'equazione ottenuta prendendo il complesso coniugato di quella di Schrödinger :

Occorre ricordare che la funzione d'onda ψ (x; t) determina la probabilità di trovare la particella in un intervallo di ampiezza dx attorno al punto x nell'istante t:

dove   è il quadrato del modulo di z. Ricordiamo che quando una variabile è definita statisticamente, il suo valore medio è il valore più ragionevole da associare a tale variabile. Se provassimo a ripetere un gran numero N di volte la misura di una variabile statistica è la probabilità che il risultato venga , la legge dei grandi numeri ci dice che il numero di volte in cui troviamo il risultato sarà verosimilmente vicino a . Supponiamo che i valori possibili per y siano y₁; y₂,..., y_n. Se ripetiamo N volte la misura, quasi con certezza otterremo il valore y_i un numero di volte N_i = N · p(y_i), i = 1,...,n. Se allora calcoliamo il valore medio di y otteniamo

ovvero il valor medio di una variabile reale è ottenuto prendendo il prodotto di ogni possibile valore per la probabilità che esso capiti e poi sommando su tutti i valori ammissibili. È importante notare che qui usiamo una probabilità normalizzata, nel senso che se un evento è sicuro al 100% diremo che ha probabilità 1, se lo è al 30% ha probabilità 0.3 eccetera.

Se applichiamo questa regola alla posizione della particella otteniamo allora che all'istante t il suo valor medio sarà

Esso dipende dal tempo perché la probabilità stessa dipende dal tempo. È allora ragionevole aspettarsi che quello che classicamente associamo ad una particella sia solo il valor medio della posizione ed è esso, e non la posizione (che non assumiamo essere una proprietà della particella), a variare nel tempo; proviamo a calcolare con quale velocità:

Se qui sostituiamo le derivate temporali di ψ (x; t) e di ψ*(x; t) come ricavate dalle rispettive equazioni di Schrödinger , e osserviamo che i termini contenenti U(x) si cancellano, otteniamo

Il lettore può verificare che vale l'identità

che, sostituita nell'integrale, usando il teorema fondamentale del calcolo integrale e il fatto che la funzione  ψ(x; t) va a zero rapidamente all'infinito, porta infine a

Possiamo interpretare questa quantità come la velocità media alla quale ci aspettiamo di veder muoversi la particella. In termini di quantità di moto media possiamo riscrivere il risultato ottenuto nella forma

dove è il prodotto scalare definito alla puntata precedente e , definito da

è detto operatore quantità di moto. Per capire meglio il senso di questo risultato possiamo definire l'operatore posizione mediante l'uguaglianza

e notare che

In generale, dato un operatore , chiamiamo valore di aspettazione di la quantità . Quindi: se vogliamo calcolare il valor medio della posizione o della quantità di moto della particella, possiamo associare a tali quantità i corrispondenti operatori e calcolarne il valore di aspettazione.

Per esempio, in meccanica l'energia cinetica è

Dato che alla quantità di moto p corrisponde l'operatore , è naturale allora associare a E_cin l'operatore

Vediamo allora che possiamo scrivere l'equazione di Schrödinger  nella forma

Dove è l'operatore energia di cui lasciamo al lettore di scrivere l'espressione esplicita.

I più arditi potrebbero tentare di dimostrare con le stesse tecniche qui usate che:

dove è la forza che agisce sulla particella. Queste formule dicono che in media la particella ci apparirà muoversi secondo la legge di Newton sotto l'azione di una forza media , e che in media l'energia si conserva, ovvero in media la legge di Newton funziona correttamente.

Sergio Cacciatori è ricercatore e docente presso il dipartimento di Scienza e Alta Tecnologia dell'Università dell'Insubria. Si occupa essenzialmente di Fisica Teorica e Fisica Matematica. 

Massimo Bertini, insegnante di liceo.

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