Con l'assegnazione del premio Nobel 2016 per la Fisica, si è certamente accesa la curiosità verso una delle branche che più possono risultare "strane" della matematica: la topologia. Nel tentativo di dare un'idea di questa strampalata disciplina si è incorsi in una vera e propria invasione di pretzel, tazze, ciambelle e palloni da calcio e in classificazioni di quale oggetto è uguale a un altro per i topologi (persone che al bar chiedono una ciambella di caffè, secondo una vecchia battuta).
Credo tuttavia valga la pena spendere due parole su come la topologia si collochi, in una visione di più ampio respiro, all'interno della geometria. Scrive Renato Betti, professore di Geometria al Politecnico di Milano: "per quanto imprecisa, la figura è solo una comoda rappresentazione di forme sulle quali il matematico conduce le considerazioni con altri occhi. Vede oltre ciò che traccia con la mano".
Forti di questo insegnamento possiamo fare un'osservazione: quanti triangoli, quante circonferenze e quanti rettangoli abbiamo disegnato sui nostri quaderni a scuola durante le ore di matematica? In cuor nostro, il quadrato disegnato per un esercizio non era poi diverso da quello disegnato per l'esercizio successivo. Né tenevamo conto del fatto che la carta del quaderno fosse a quadretti piccoli, grandi o addirittura bianca. Ma un quadrato disegnato su carta bianca è differente da uno su carta a quadretti? Certamente, ai fini della risoluzione dell'esercizio, la risposta è no.
Questo perché le proprietà che in quel momento ci interessano sono altre, come per esempio la lunghezza dei lati o l'ampiezza degli angoli. Altre volte ancora potrebbe non interessarci neanche la lunghezza dei lati ma solo il fatto che siano a due a due paralleli. Pertanto le proprietà che ci interessano sono quelle che decidono se la comoda rappresentazione che abbiamo scelto vada bene oppure no per il nostro obiettivo.
Secondo punto: tornati a casa da scuola, apriamo il quaderno per fare altri esercizi e subito riconosciamo il quadrato fatto nell'ora di matematica. Sbadatamente abbiamo aperto il quaderno per il verso sbagliato e quindi lo ruotiamo per riuscire a leggere. Sorprendentemente il quadrato rimane tale. Questo perché la rotazione del quaderno non cambia la forma del quadrato, al contrario di quanto avverrebbe se lo tagliassimo seguendo una diagonale. Vi sono pertanto alcune azioni che possiamo fare senza che le proprietà che ci interessano vengano compromesse, altre azioni che invece modificano la nostra figura e ne danno un'altra che non è equivalente alla precedente.
Quando si studia topologia non si è interessati a lunghezza, forma o parallelismo fra due rette, ma si guarda a proprietà forse meno intuitive ma più semplici. Immaginate di avere una particolare plastilina allungabile all'infinito. Le uniche regole del gioco sono non strappare o bucare la figura di plastilina e non fondere due parti in una unica: si può pertanto estendere un quadrato quanto si vuole, un cubo può diventare un pallone da calcio smussando gli angoli ma non si riuscirà a passare da una sfera alla ciambella perché dovreste forare la palla (in matematica tutte le ciambelle escono col buco!).
Ecco allora che in topologia, un cubo e una sfera sono uguali nella stessa misura in cui lo sono due quadrati disegnati uno su carta bianca e uno su carta a quadretti. Questo è forse un approccio naif alla topologia: una trattazione più rigorosa è possibile partendo da un punto di vista assiomatico e da lì derivare tutta la teoria che si vuole. Ma ciò che è importante sottolineare è che, grazie alla sua apparente semplicità, la topologia risulta versatile e si affianca a molte altre branche della Matematica ma anche della Fisica (basti pensare all'assegnazione dei premi Nobel) e dell'informatica (come ad esempio la teoria dei grafi, quello che otterreste se pensaste a Facebook solo con palline e freccette al posto di profili e richieste di amicizia).
P.S. Se non vi è chiara la battuta del topologo, date un'occhiata all'animazione tazza-ciambella che abbiamo riportato in questa pagina.
Francesco Esposito, laureando alla Magistrale di Matematica presso l'Università del Salento. Il suo campo di interesse è la Geometria, in particolare Geometrie non-euclidee e Geometria Differenziale. Ha partecipato ad eventi di divulgazione scientifica. Collaborerà con Tom's Hardware per la produzione di contenuti scientifici.