L'impossibilità della quadratura del cerchio (usando riga e compasso) è stato uno dei problemi più annosi della Storia della Matematica, che ha impiegato un paio di millenni circa per essere formalmente risolto. Cerchi e quadrati però hanno trovato un compromesso interessante: biciclette con ruote quadrate.
Sembra un'idea di Homer Simpson, uno dei suoi brevetti nella corsa contro Edison (Episodio 2 della 10ma stagione), ma esiste realmente questo marchingegno, come hanno potuto appurare (dopo l'esistenza del poeta Caproni) i giovani maturandi alla consegna della traccia della seconda prova. Quante sorprese durante questa maturità!
Non temete: sicuramente il prossimo giro d'Italia non si correrà su queste biciclette. Intuitivamente si riesce a capire che la "forma" della pista gioca un ruolo molto importante: così come accade per le usuali ruote rotonde, essa deve essere tale da garantire che il punto di contatto ruota-terreno sia unico. Inoltre, deve essere composta da "moduli" che si ripetono regolarmente per consentire alla ruota di muoversi su di essa.
Il profilo del "modulo" suggerito nella traccia ministeriale è dato dalla funzione
che si ripete ogni 2a con a parametro da determinare e come mostrato nella seguente figura:
Come determinare tale parametro? Per ogni pedalata che facciamo, lo spazio percorso dovrà corrispondere al lato del quadrato della ruota (2 unità di misura, nel nostro caso) in modo tale che, se partiamo con un vertice del quadrato incuneato nel punto "angoloso" di inizio dosso, dopo la pedalata finiremo con il vertice seguente nel punto "angoloso" seguente.
Notiamo inoltre che i valori a e -a sono le ascisse dei punti a "livello 0", ossia dei punti tali che f(x)=0. Riscrivendo questa relazione e operando delle sostituzioni, si ottiene che
(come in figura).
Vediamo ora se lo schema proposto soddisfa i requisiti richiesti.
L' "incunearsi" della ruota nei punti angolosi si risolve nel fatto che, da un punto di vista matematico, le tangenti subito prima e subito dopo del punto angoloso sono i lati del quadrato e pertanto perpendicolari. Subito prima corrisponde al punto (-a,0) mentre subito dopo al punto (a,0): questa condizione è chiara se si pensa al periodicità della piattaforma.
La direzione della tangente al profilo in un punto (nel nostro caso i punti angolosi) è data dalla derivata prima nel punto. Calcolando la derivata prima si ottiene
da cui
e, dalla caratterizzazione di perpendicolarità delle due rette (prodotto dei coefficienti angolari uguale a -1), segue che la condizione è soddisfatta.
Rimane da dimostrare che non ci si ritrovi a dover slittare con la bicicletta perché, dopo una pedalata, il vertice del quadrato non è comodamente adagiato nell'incavo predisposto. Come gentilmente suggerito dal Ministero, la lunghezza della nostra curva sarà data dall'integrale (scisso per simmetria del problema)
che è la lunghezza del lato del quadrato.
Il modello pertanto funziona.
Vediamo ora velocemente un paio di curiosità su questo problema. La prima risulta quasi paradossale: il ciclista che voglia avventurarsi in questa esperienza non si accorgerà di camminare su una serie di dossi, ma piuttosto avrà la sensazione di procedere in piano; la configurazione del problema, infatti, è tale da garantire che l'ordinata del centro del quadrato (della ruota) e di conseguenza quella di canna e sellino, rimangano costanti lungo il tragitto. La dimostrazione di questa proprietà passa attraverso la considerazione che il lato del quadrato giace la tangente nel generico punto e la similitudine dei triangoli in figura (il problema si riduce ad un problema di geometria piana, considerando i coefficienti angolari delle rette tangenti/lati della ruota).
Infine, il quesito propone un'altra variante di bicicletta. Se consideriamo una pista con profilo dato dalla seguente funzione
con x compreso tra -ln(3)/2 e ln(3)/2 (ripetendo il "modulo" come nel caso precedente), si ottiene che tale pista è ideale per una bicicletta che ha per ruote triangoli equilateri.
Consideriamo infatti i punti angolosi (come fatto prima) e calcoliamo le direzione delle derivate (che coincidono con i lati della bicicletta) subito prima e subito dopo il punto. Otterremo che
Questi numeri rappresentano i coefficienti angolari m1 ed m2 delle rette su cui giacciono i lati della ruota della nuova bici presa in considerazione.
Considerando la formula per il calcolo dell'angolo α compreso tra due rette, si ottiene che
e conseguentemente l'angolo in questione è 60° (o π/3 che dir si voglia), corrispondente all'angolo interno di un triangolo equilatero.
Non rimane che augurare buona fortuna ai maturandi e a tutti "buona pedalata"!
La traccia completa è consultabile sul sito di ScuolaZoo.
Francesco Esposito, laureando alla Magistrale di Matematica presso l'Università del Salento. Il suo campo di interesse è la Geometria, in particolare Geometrie non-euclidee e Geometria Differenziale. Ha partecipato ad eventi di divulgazione scientifica. Collabora con Tom's Hardware per la produzione di contenuti scientifici.
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