La matematica ha appena dimostrato qualcosa che sfida il senso comune: esiste un modo universale per annullare quasi qualsiasi rotazione di un oggetto, riportandolo alla posizione iniziale come se non fosse mai stato mosso. Due ricercatori, Jean-Pierre Eckmann dell'Università di Ginevra e Tsvi Tlusty dell'Istituto Nazionale di Scienza e Tecnologia di Ulsan in Corea del Sud, hanno scoperto quello che definiscono un "pulsante di reset nascosto" che funziona modificando l'ampiezza della rotazione iniziale secondo un fattore comune e ripetendo il movimento due volte.
L'intuizione porterebbe a pensare che per annullare una sequenza complessa di rotazioni sia necessario ripercorrere meticolosamente ogni movimento al contrario, uno per uno. Invece, il principio scoperto dai due matematici si basa su un processo chiamato scaling, che consente di riportare un oggetto alla sua configurazione originaria attraverso un metodo molto più elegante ed efficiente. Questa proprietà si applica a una vastissima gamma di oggetti rotanti, dai giroscopi ai bracci robotici, dagli spin quantistici ai comuni qubit utilizzati nell'informatica quantistica.
Il funzionamento pratico può essere compreso attraverso un esempio concreto: se una trottola viene fatta ruotare di tre quarti di giro, è possibile riportarla al punto di partenza riducendo la rotazione a un ottavo e ripetendo questa operazione due volte, ottenendo un quarto di giro aggiuntivo che completa il ciclo. Secondo Tlusty, il principio vale anche per traiettorie estremamente intricate: "Se gli oggetti attraversano un percorso molto convoluto nello spazio, semplicemente scalando tutti gli angoli di rotazione dello stesso fattore e ripetendo questa traiettoria complicata due volte, tornano all'origine".
La dimostrazione matematica parte da un catalogo completo di tutte le rotazioni possibili nelle tre dimensioni spaziali, conosciuto come SO(3). Questo catalogo può essere descritto utilizzando uno spazio matematico astratto strutturato come una sfera, dove ogni sequenza di rotazioni nello spazio reale corrisponde a un movimento da un punto all'altro all'interno della sfera, paragonabile a un verme che scava una galleria attraverso una mela. Quando si esegue una rotazione complessa, il percorso equivalente all'interno dello spazio SO(3) inizia dal centro della sfera e può terminare in qualsiasi altro punto, a seconda dei dettagli della rotazione.
La sfida consiste nel trovare un percorso che riporti al centro della sfera, ma poiché esiste un solo centro, le probabilità di raggiungerlo casualmente sono minime. L'intuizione chiave di Eckmann e Tlusty è stata comprendere che, grazie alla struttura particolare di SO(3), annullare una rotazione a metà equivale a trovare un percorso verso un qualsiasi punto sulla superficie della sfera. Come spiega Tlusty, questo è molto più semplice che tentare di raggiungere il centro, perché la superficie è composta da numerosi punti.
Il percorso verso la soluzione non è stato lineare. Secondo Eckmann, i due ricercatori hanno trascorso molto tempo seguendo filoni di ragionamento matematico che si sono rivelati infruttuosi. Alla fine, ciò che ha funzionato è stata la combinazione di una formula ottocentesca chiamata formula di Rodrigues, utilizzata per combinare due rotazioni successive, e un teorema del 1889 proveniente dalla teoria dei numeri. La conclusione finale è stata che il fattore di scala necessario per il reset esiste quasi sempre.
Le implicazioni pratiche di questa scoperta potrebbero estendersi ben oltre la matematica pura. Nel campo della risonanza magnetica nucleare (NMR), che costituisce la base delle tecniche di imaging medico come la risonanza magnetica (MRI), i ricercatori studiano le proprietà dei materiali e dei tessuti analizzando la risposta degli spin quantistici alle rotazioni imposte da campi magnetici esterni. La nuova dimostrazione potrebbe contribuire allo sviluppo di procedure per annullare rotazioni indesiderate degli spin che interferiscono con il processo di imaging.
Josie Hughes del Politecnico Federale di Losanna intravede applicazioni anche nel campo della robotica. Un robot capace di rotolare potrebbe essere programmato per seguire un percorso costituito da segmenti ripetitivi, comprendendo un movimento affidabile di rotolamento-reset-rotolamento che, in teoria, potrebbe continuare indefinitamente. "Immaginate se avessimo un robot capace di trasformarsi in qualsiasi forma solida", suggerisce Hughes, "potrebbe seguire qualsiasi percorso desiderato semplicemente modificando la sua forma". Per Eckmann, questa ricerca dimostra quanto possa essere ricca la matematica anche in campi apparentemente esplorati a fondo come lo studio delle rotazioni.
