Distribuzioni e la "Delta di Dirac"

La parola "distribuzioni" è ricorrente tanto in Fisica quanto in Matematica. Come esempio vogliamo discutere la distribuzione di materia in un corpo materiale continuo. Consideriamo un corpo uniforme fatto di un materiale omogeneo che occupa un volume V con una massa totale M. Per esempio possiamo pensare a una sfera piena fatta di ferro. Diremo allora che il materiale di cui è fatto il corpo ha densità

Questa densità ora è solamente un numero, ed è tutto quello che ci serve nel senso che se prendiamo un pezzetto di volume δV dal corpo, vedremo che la sua massa sarà δM=ρδV. Ma in generale i corpi non sono omogenei. Se ad esempio la nostra sfera invece che una palla di ferro fosse un'anguria, la quantità non ci darebbe informazioni precise sul materiale di cui è fatto il corpo perché buccia, polpa e semi sono fatti di materiali diversi. Se prendiamo un pezzetto di anguria la sua massa non sarà in generale uguale a

Se immaginiamo che la buccia sia fatta di un materiale omogeneo, la polpa di un altro materiale omogeneo e i semi di un materiale omogeneo ancora diverso, potremo definire la densità di ciascuna di queste parti come la massa di ognuna di esse divisa per il corrispondente volume. In questo modo definiamo una funzione del punto ρ(x) che è pari alla densità della polpa se x è un punto della polpa, o della buccia se x è nella buccia, eccetera. Questa funzione densità è di nuovo precisa: se prendiamo un pezzo di anguria di volume δV, possiamo dividerlo in tre parti, quella occupata dalla buccia, di volume δV₁, quella occupata dalla polpa, di volume δV₂, e quella occupata dai semi, di volume δV₃, in modo che δV = δV₁ + δV₂ + δV₃. Se ρ₁, ρ₂, ρ₃ sono le corrispondenti densità vediamo che allora

δM = ρ₁δV₁ + ρ₂δV₂  + ρ₃δV₃ ,

quindi riusciamo a ricostruire la massa di qualunque pezzetto di anguria se conosciamo la sua funzione densità. Questa funzione ci dice come la materia si distribuisce dentro l'anguria e per questo la chiamiamo distribuzione di materia dell'anguria.

Più in generale i materiali sono ancora meno omogenei e la loro distribuzione di materia sarà una funzione ρ(x) che varia punto per punto. Se prendiamo un pezzettino di materiale, di volume dV, sufficientemente piccolo perché lo si possa considerare circa omogeneo, allora la sua massa sarà

dM = ρ(x)dV

essendo x il punto in cui il pezzettino si trova all'interno del materiale. Una regione più grande δV, in cui la densità varia, potremo invece suddividerla in tanti pezzettini omogenei di volume dV e massa dM = ρ(x)dV per ottenere la massa totale sommando tutte queste masserelle:

La distribuzione di massa ρ(x) cui dà dunque informazioni molto precise su come la materia è disposta punto per punto e quindi possiamo pensare di utilizzarla per descrivere qualunque corpo. Ma come funziona allora per un corpo puntiforme?

Per una particella puntiforme di massa m la materia è concentrata ovunque ad esclusione del punto in cui la particella si trova. Quindi dovrebbe esistere una funzione ρ(x) nulla ovunque tranne un punto e con la proprietà che

Tuttavia è noto che una tale funzione non può esistere: una funzione che è nulla ovunque tranne in un punto se integrata dà sempre zero. Se si vuole descrivere la distribuzione di materia di una particella puntiforme si può invece considerare un processo limite immaginando una particella puntiforme di massa m come il limite di una particella omogenea di massa m che viene via via schiacciata sino a ridursi a un punto mantenendo costante la massa.

Per capire come funziona vediamolo in una dimensione. In questo caso il volume V è sostituito dalla lunghezza L e invece di densità di massa per unità di volume parleremo di densità di massa per unità di lunghezza M / L, ma concettualmente nulla cambia. Consideriamo dunque una particella di massa m e lunghezza L in una dimensione, centrata in x₀. La sua densità lineare è

Il grafico della funzione χÊŸ = ρ(x)/m è un rettangolo di base L e altezza 1/L e quindi ha area 1. Per quanto possiamo prendere L sempre più piccolo questa proprietà non cambia. Se ora consideriamo una funzione f(x) continua e la moltiplichiamo per χÊŸ(x) abbiamo che se prendiamo L molto piccolo

f(x) χÊŸ(x)  Ì´  f(x₀) χÊŸ(x),

dato che la funzione f(x), essendo continua, varierà di poco nell'intervallino in cui ­ χÊŸè diversa da zero. Da questa ricaviamo immediatamente

dove abbiamo usato che l'area del rettangolo corrispondente al grafico di χÊŸ(x) è 1. È esattamente in questo senso che in Fisica si dice che lim_ÊŸ→0 χÊŸ(x) = δ(x-x0) dove δ è la Delta di Dirac, una "funzione generalizzata" che ha la proprietà

che è esattamente quanto serve per definire la distribuzione di materia per una particella puntiforme: diremo allora che essa vale

ρ(x) = mδ(x-x0)

che la δ è approssimata da χÊŸ(x) quando L è sempre più piccolo. Si dice anche che la distribuzione è deltiforme.