Il cono gelato e l'ellisse, quando la matematica è golosa

A tutti capita di osservare la luce che l'abat-jour sulla nostra scrivania proietta sul tavolo da lavoro. Se l'abat-jour è rivolta verso il basso illuminerà il tavolo con una luce circolare, mentre se la incliniamo leggermente formerà quello che appare essere un cerchio allungato, e che è di fatto un'ellisse. Se aumentiamo l'inclinazione sempre di più l'ellisse si allunga finché a un certo punto non si richiude più a formare una figura chiusa, bensì una aperta: la parabola. Inclinandola ancora un pochino l'immagine cambierà apparentemente di poco, ma si trasformerà comunque in un'iperbole.

In questo breve saggio ci occuperemo dell'ellisse, che si ottiene tagliando obliquamente il cono di luce della lampada con il piano della scrivania.

Consideriamo un punto V dello spazio da cui escono due semirette formanti un angolo acuto, e facciamo ruotare una retta attorno all'altra. La retta fissata è detta asse A del cono, mentre l'altra è detta generatrice G e, ruotando, spazza un cono, detto cono circolare retto. L'angolo tra le semirette è la semi-apertura del cono.

Posto che l'asse sia in direzione verticale, consideriamo un piano, non passante per il vertice, che tagli il cono con una inclinazione rispetto all'orizzontale, che sia inferiore al complemento della semi-apertura: . In tale modo possiamo vedere  che il piano interseca il cono lungo una linea chiusa: tale linea è l'ellisse (in particolare, se si ottiene un cerchio).

Si immagini ora che il cono sia la cialda di un gelato, nella quale vogliamo mettere due palline di gelato con la seguente regola. Una pallina più piccola sta sotto al piano e si appoggia sul cono e sul piano. Essa sarà dunque tangente al cono lungo un cerchio orizzontale e al piano in un punto . La seconda palla la mettiamo con la stessa regola ma sopra al piano. Essa sarà quindi tangente al cono lungo un cerchio più grande e al piano nel punto . I punti ed sono detti i fuochi dell'ellisse. Sia p un qualsiasi punto dell'ellisse e G la semiretta generatrice passante per p. Essa interseca i cerchi di tangenza delle sferette di gelato nei punti e .

Consideriamo i segmenti . Essi escono dallo stesso punto p e sono tangenti alla stessa sfera. Dunque sono lunghi uguali. Nello stesso modo vediamo che  sono lunghi uguali. Inoltre   sono allineati a formare il segmento di lunghezza D pari alla distanza tra i due cerchi misurata lungo la generatrice G:

.

Per simmetria tale distanza non dipende dalla generatrice che scegliamo e quindi non dipende dal punto p sull'ellisse.

Per le uguaglianze ottenute sopra abbiamo quindi anche

,

indipendente dal punto p sull'ellisse. Questa formula espressa a parole ci dice che l'ellisse è il luogo dei punti geometrici di un piano la cui somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante.

Facciamo notare che usualmente questo ragionamento viene fatto al contrario, nel senso che si assume quest'ultima asserzione come definizione di ellisse e poi si dimostra che la si ottiene intersecando un cono con un piano (come il cono di luce dell'abat-jour con il piano della scrivania o il cono gelato con il suddetto piano). Questa equivalenza è nota sotto il nome di Teorema di Dandelìn o Teorema del cono gelato.

Sergio Cacciatori è ricercatore e docente presso il dipartimento di Scienza e Alta Tecnologia dell'Università dell'Insubria. Si occupa essenzialmente di Fisica Teorica e Fisica Matematica. 

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