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Uno dei teoremi che tutti gli studenti ricordano bene è il Teorema di Pitagora, noto sin dal tempo dei babilonesi. Ma è un teorema universalmente valido? Proviamo a ragionarci insieme.
Dato un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa ha area uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.
Nonostante sia probabilmente il più celebre risultato di matematica, non è privo di insidie. Guardate il seguente esempio.
Consideriamo il triangolo disegnato sulla sfera nella figura sopra (di lati a, b e c); tutti e tre gli angoli sono retti e i lati uguali tra loro; pertanto abbiamo a disposizione un triangolo equilatero e rettangolo. In questo caso, però, il Teorema di Pitagora non vale: considerando come ipotenusa il lato b (possiamo farlo perché l'angolo opposto è retto), risulta che
a2+c2 > b2
(a2+c2 = b2 + b2 = 2 b2 perché i lati sono uguali tra loro)
e pertanto non vale l'uguaglianza dell'enunciato (la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è maggiore e non uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa).
Questo esempio sembrerebbe mostrare un paradosso: il Teorema di Pitagora è vero o no? Prima di rispondere a questa domanda, notiamo un'altra stranezza: il triangolo costruito ha somma degli angoli interni pari a 90°+90°+90° = 270° , mentre in ogni libro scolastico di matematica è chiaramente indicato che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°. Qualcosa non quadra.
C'è chi potrebbe obiettare che quello in figura non è un triangolo perché i lati sono curvi, ma converrete che ha comunque tre angoli! Inoltre non c'è modo di fare delle linee dritte su una sfera (provare per credere) ma, fidatevi, quello è un triangolo.
Qualcuno imbroglia: o Pitagora e tutti gli insegnati di matematica a questo mondo (abbiamo sempre sospettato che fossero dei loschi figuri, ammettiamolo) oppure il triangolo sulla sfera. Questo teorema vale, sì o no? Entrambe le opzioni sono accettabili.
Il teorema vale nella cosiddetta geometria euclidea (la geometria piana alla Flatlandia o quella solida nello spazio, in breve quella che si fa a scuola, per intenderci) mentre non vale nelle geometrie non-euclidee (come ad esempio su una sfera). Anche le considerazioni sulla somma degli angoli interni di un triangolo rientrano in questa distinzione: nella geometria euclidea la somma è pari 180°, mentre nelle altre no.
Potrebbero ora nascere ulteriori domande e dubbi: perché studiare le geometrie non-euclidee? Perché prestare attenzione alle nefandezze di matematici visionari e alle loro speculazioni mentali? Qual è il vantaggio di conoscere la geometria su una sfera? Credo vi siano principalmente due ragioni: la prima è che la storia delle geometrie non-euclidee è storia dell'Uomo, perché ci sono voluti più o meno due millenni di menti a lavoro per chiarire il problema. La seconda è che, forse non l'avreste notato, ma abitiamo su una sfera (o giù di lì).
Come si accordano allora la nostra esperienza sensoriale e la teoria? Se traccio un triangolo rettangolo sulla sabbia e misuro i lati, il Teorema di Pitagora sembra valere! La risposta a questa domanda è probabilmente il motivo per cui ci sembra di vivere in uno spazio euclideo.
Le misure del triangolo sulla sabbia, così come quelle con cui abbiamo a che fare ogni giorno, sono di gran lunga inferiori al raggio della Terra. E questo ci dà l'impressione di essere su un piano, su uno spazio piatto: in questo ambiente vale la geometria euclidea (provate a pensare ad una sfera il cui raggio cresce a dismisura fino a diventare infinito, quello che otterrete è un piano!).
Ma quando ci si trova ad avere a che fare con lunghezze paragonabili a quelle del raggio terrestre, le cose cambiano. Lo sanno bene i piloti delle tratte internazionali: Roma e New York sono più o meno sullo stesso parallelo (42° parallelo Nord) e tuttavia il percorso più breve non è "in linea d'aria", ma quello che si fa salendo verso Nord e poi scendendo (seguendo un arco di circonferenza di raggio massimo).
